Kanonický tvar kvadratickej formy

[Martin Sleziak]

Napíšem sem niečo k úlohe z písomky. Samozrejme, ak máte nejaké otázky, poznámky, návrhy na iné riešenia, tak neváhajte napísať sem na fórum.

Skupina A

Nájdite kanonický tvar kvadratickej formy $x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3$.

Skupina B

Nájdite kanonický tvar kvadratickej formy $x_1^2+3x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3$.

Úloha týkajúca sa kvadratických foriem z minuloročnej písomky:
viewtopic.php?t=683

Výsledky

V oboch skupinách je kanonický tvar $y_1^2+y_2^2+y_3^2$.

[Martin Sleziak]

Riešenie

Azda najrýchlejšie riešenie je všimnúť si, že matica je kladne definitná - to sa dá overiť zo Sylvestrovho kritéria.
Ak vieme, že kvadratická forma je kladne definitná, tak kanonický tvar musí byť $y_1^2+y_2^2+y_3^2$.

Spoiler:

Skupina A:
$D_1=1$, $D_2=
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
1 & 3 \\
\end{vmatrix}=3-1=2$,
$D_3=
\begin{vmatrix}
1 & 1 &-1 \\
1 & 3 &-1 \\
-1 &-1 & 3 \\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
1 & 1 &-1 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{vmatrix}=4$

Skupina B:
$D_1=1$, $D_2=
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
1 & 3 \\
\end{vmatrix}=2$,
$D_3=
\begin{vmatrix}
1 & 1 &-1 \\
1 & 3 & 0 \\
-1 & 0 & 2 \\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
1 & 1 &-1 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{vmatrix}=1$

[Martin Sleziak]

Iné možnosti riešenia

Predošlé riešenie bolo založené na šťastnej náhode, že v zadaní bola kladne definitná matica. (A že sme sa rozhodli odskúšať, či je kladne definitná.) Ale vypočítať úlohu niektorým zo štandardných postupov (pomocou doplnenia na štvorec alebo pomocou riadkových a stĺpcových úprav) tiež nebolo priveľmi ťažké.
Zdôrazním, že sme od vás nechceli transformáciu premenných resp. príslušnú maticu. (Ale samozrejme, ak ste ju niektorí z vás vyrátali a použili ste ju na to, aby ste urobili skúšku správnosti, nie je na tom nič zlé. Ak kanonický tvar vyjde tak, že z neho vidíme kladnú definitnosť - ako to bolo v tomto prípade - tak aj Sylvestrovo kritérium sa dá použiť ako skúška správnosti. Samozrejme, nijako by nám nepomohlo, ak by výsledok bol napríklad $y_1^2+y_2^2-y_3^2$ alebo $y_1^2-y_2^22$).

Napíšem sem aj ako sa to dalo rátať tými postupmi, na ktoré sme zvyknutí. Nebudem ale rátať aj maticu prechodu a robiť skúšku. Príklad takéhoto typu vyriešený oboma spôsobmi (v jednom prípade aj so skúškou) je napríklad tu:
viewtopic.php?t=677
viewtopic.php?t=678

Skupina A:

Doplnením na štvorec:
\begin{align*}
x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3&=\\
(x_1+x_2-x_3)^2+2x_2^2+2x_3^2&=\\
y_1^2+y_2^2+y_3^2&
\end{align*}
pre $y_1=x_1+x_2-x_3$, $y_2=\sqrt2x_2$, $y_3=\sqrt2x_3$.

Riadkovými a stĺpcovými úpravami:
$\begin{pmatrix}
1 & 1 &-1 \\
1 & 3 &-1 \\
-1 &-1 & 3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 &-1 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \sqrt2 & 0 \\
0 & 0 & \sqrt2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$

Skupina B:

Doplnením na štvorec:
\begin{align*}
x_1^2+3x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3 &=\\
(x_1+x_2-x_3)^2+2x_2^2+2x_2x_3+x_3^2 &=\\
(x_1+x_2-x_3)^2+x_2^2+(x_2+x_3)^2&
\end{align*}

Riadkovými a stĺpcovými úpravami:
$\begin{pmatrix}
1 & 1 &-1 \\
1 & 3 & 0 \\
-1 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 1 &-1 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

[Martin Sleziak]

Chyby, ktoré sa vyskytovali v riešeniach.

Pod názvom kanonický tvar rozumieme tvar, v ktorom sú iba koeficienty $1$, $-1$, $0$. T.j. ak ste napríklad dostali výsledok v tvare $y_1^2+2y_2^2+2y_3^2$, tak to ešte nie je kanonický tvar. (Kanonický tvar už z tohoto ale ľahko dostaneme.) Nestrhával som za to body, ale chcel by som, aby ste si uvedomili, čo je kanonický tvar kvadratickej formy.

Kanonický tvar kvadratickej formy v troch premenných by mal tiež mať tri členy. (Resp. najviac tri, ak nerátame členy s nulovými koeficientami.)
T.j. napríklad ak ste napísali po niekoľkých úpravách niečo ako
$3(x_1-x_2)^2+(x_1+x_2)^2-(x_2-2x_3)^2+(2x_3-x_1)^2+x_1^2=y_1^2+y_2^2-y_3^2+y_4^2+y_5^2$,
tak toto nie je kanonický tvar. (Toto sa objavilo v jednej z písomiek - priznám sa, že som nekontroloval, či sa to rovná zadanej kvadratickej forme. Ale viacero ľudí uviedlo ako výsledok niečo podobné -- nejaký výraz s viac ako tromi členmi. Malo by byť pomerne jasné, že ak urobíte niečo takéto, tak príslušná transformácia premenných nebude regulárna.)