Ako nájsť asymptoty hyperboly

[Martin Sleziak]

Už vieme, ako nájsť stred hyperboly a posunúť ju tak, aby sme sa zbavili lineárnych členov: viewtopic.php?t=901
Budeme sa teda teraz zaoberať už iba hyperbolami so stredom v $(0,0)$.
Ak budeme mať iný stred, tak stačí vlastne posunúť asymptoty nájdené podľa tohoto návodu posunúť do nového stredu.

To znamená, že máme krivku zadanú rovnicou tvaru
$$ax_1^2+2bx_1x_2+cx_2^2 + f = 0,$$
pričom
$$\delta=
\begin{vmatrix}
a & b \\
b & c \\
\end{vmatrix}=ac-b^2<0.$$

Návod na nájdenie asymptot

Dostať rovnicu určujúcu asymptoty je vlastne jednoduché. Stačí vynechať absolútny člen.
T.j. ak hyperbola má rovnicu
$$ax_1^2+2bx_1x_2+cx_2^2 + f = 0,$$
tak rovnica určujúca asymptoty je
$$ax_1^2+2bx_1x_2+cx_2^2 = 0.$$

Túto rovnicu by sme ale chceli prepísať takým spôsobom, aby sme videli, že skutočne predstavuje dvojicu priamok.
Skúsime to odvodiť najprv všeobecne a potom sa pozrieť na konkrétne príklady.

Ak $a\ne0$ tak vieme nájsť riešenia rovnice
$$at^2+2bt+c=0.$$
Pretože diskriminant tejto rovnice je $4(b^2-ac)=-4\delta>0$ je kladný, táto rovnica má dve reálne riešenia $t_{1,2}$.

Máme teda pre tieto čísla
$$at^2+2bt+c=a(t-t_1)(t-t_2).$$
Nie je ťažké skontrolovať, že potom platí aj
$$ax_1^2+2bx_1x_2+cx_2^2=a(x_1-t_1x_2)(x_2-tx_2).$$

Teda podmienka $ax_1^2+2bx_1x_2+cx_2^2=a(x_1-t_1x_2)(x_1-t_2x_2)=0$ je ekvivalentná s podmienkou
\begin{align*}
x_1-t_1x_2&=0\\
x_1-t_2x_2&=0
\end{align*}
Dostali sme teda skutočne dvojicu priamok.

Toto by nefungovalo iba ak $a=0$. Ak $c\ne 0$, môžeme postupovať podobne ale začať s premennou $x_2$. Ak sú $a$ aj $c$ nulové, tak je rovnica hyperbola $2bx_1x_2+f=0$. Inak povedané, $x_2=-\frac{f}{2bx_1}$.
Vieme, že táto hyperbola má asymptoty $x_1=x_2=0$ (t.j. súradnicové osi).

Prečo to vlastne funguje?

Nejakú intuíciu prečo to funguje by mohlo dať to, že vo vhodnej súradnicovej sústave je rovnica hyperboly $\lambda_1 x_1^2-\lambda_2 x_2^2+f=0$. Skúste si predstaviť, čo sa deje, ak meníme hodnotu parametra $f$. Ak sa blíži k nule, tak sa hyperbola čoraz viac približuje k asymptotám.
Opäť si môžete vo WolframAlpha vyskúšať napríklad hyperboluu $x^2-y^2-f=0$ pre niekoľko zvolených hodnôt $f$.

[Martin Sleziak]

Pár konkrétnych príkladov

Opäť by sme to mohli vyskúšať pre nejaký konkrétny príklad hyperboly.

*****

Pozrime sa na hyperbolu $3x_1^2-10x_1x_2+3x_2^2-3=0$.
Asymptoty by sme mali hľadať pomocou zodpovedajúcej rovnice
$$3x_1^2-10x_1x_2+3x_2^2=0.$$
Ak sa pozrieme na kvadratickú rovnicu $3t^2-10t+3=0$, tak nájdeme riešenia $t_1=\frac13$ a $t_2=3$.
Teda máme
$$3t^2-10t+3=3(t-\frac13)(t-3)=(3t-1)(t-3).$$
Podobne môžeme prepísať
$$3x_1^2-10x_1x_2+3x_2^2 = (3x_1-x_2)(x_1-3x_2).$$
Asymptoty sú teda určené dvojicou priamok $3x_1-x_2=0$, $x_1-3x_2=0$.
Opäť si ju môžete skúsiť pozrieť vo WolframAlpha.

*****

Skúsme ešte hyperbolu
$$x_1^2+x_1x_2-2x_2^2+1=0.$$
Asymptoty sú určené rovnicou
$$x_1^2+x_1x_2-2x_2^2=0.$$

Ak vyriešime zodpovedajúcu kvadratickú rovnicu $t^2+t-2$ a zistíme, že jej korene sú $1$ a $-2$, tak potom môžeme túto rovnicu prepísať ako
$$(x_1-x_2)(x_1+2x_2)=0,$$
čo znamená, že
\begin{align*}
x_1-x_2&=0\\
x_1+2x_2&=0
\end{align*}

Tu je linka na WolframAlpha.