Zornova lema

[Martin Sleziak]

Zornova lema je velmi uzitocna dokazova technika, ak ste sa pozerali i do nepovinnych casti poznamok, ktore som vam dal k Algebre 2, tak ste mohli vidiet, ze sme ju pouzili dvakrat: pri dokaze existencie maximalneho idealu obsahujuceho dany ideal, a tiez pri dokaze existencie algebraickeho uzaveru. S velkou pravdepodobnostou sa na studiu matematiky stretnete s aplikaciami Zornovej lemy este velakrat, moze byt teda pre vas uzitocne sa ju naucit pouzivat.

Niektore aplikacie Zornovej lemy mozete najst v mojich poznamkach k teorii mnozin alebo aj v tomto texte venovanom cisto Zornovej leme. Prinajmensom niektore z aplikacii Zornovej lemy by mali byt zvladnutelne i s druhackymi vedomostami. Okrem aplikacii spomenutych v poznamkach k algebre by to mala byt napriklad aj existencia Hamelovej bazy alebo to, ze kazda ciastocne usporiadana mnozina ma linearizaciu, t.j. existuje linearne usporiadanie rozsirujuce dane ciastocne usporiadanie. (Toto ste uz aj robili na cviku.) Dalsi taky priklad je dokaz, ze kardinality lubovolnych dvoch mnozinssu porovnatelne. (T.j. pre lubovolne množiny $A$, $B$ existuje injekcia $A\to B$ alebo existuje injekcia $B\to A$.)

V pripade, ze by niektori z vas mali zaujem, tak som ochotny spravit nepovinnu prednasku navyse na tieto temy, niekedy v priebehu skuskoveho. Podla toho, co sa vam bude zdat uzitocnejsie by bol bude venovana existencii algebraickeho uzaveru alebo Zornovej leme.

Prva moznost znamena, ze by sme sa pokusili prejst cast 4.6 z poznamok, kde je ukazana existencia algebraickeho uzaveru viac sposobmi; jeden sa opiera o Zornovu lemu a druhy o maximalne idealy. Este predtym by sme si z Zornovej lemy ukazali, ze kazdy ideal je obsiahnuty v nejakom maximalnom ideale.

Druha moznost znamena, ze by sme sa snazili hlavne ukazat si cim viac aplikacii Zornovej lemy - v takom pripade by sme si existenciu algebraickeho uzaveru ukazali iba jednym sposobom a radsej by sme sa venovali tomu, aby sme si ukazali viacero situacii, kde sa da pouzit Zornova lema.

Samozrejme, pokial by ste sa rozhodli prestudovat si Zornovu lemu a jej aplikacie samostatne, tak sa akekolvek otazky mozete opytat tu na fore alebo aj na konzultaciach (ci uz u mna alebo u vasej cviciacej).

[Martin Sleziak]

S velkou pravdepodobnostou sa na studiu matematiky stretnete s aplikaciami Zornovej lemy este velakrat, moze byt teda pre vas uzitocne sa ju naucit pouzivat.

Mozno nezaskodi napisat aj kde konkretne by ste sa mohli s vyuzitim ZL stretnut - aspon zopar prikladov, na ktore som si spomenul.

Na funkcionalnej analyze: pri dokaze Hahn-Banachovej vety a Krein-Milmanovej vety. (S tou druhou sa asi stretnete skor v nejakom pokrocilejsom kurze funkcionalky, nie hned v uvodnom. ale Hahn-Banachova veta je jeden z najdolezitejsich vysledkov, ktore sa tam budete ucit.)

Pomocou Zornovej lemy sa da ukazat, ze kazdy centrovany system sa da rozsirit na ultrafilter. S filtrami a ultrafiltrami sa casto stretnete napriklad na predmete Teoria mnozin a matematicka logika, ale napriklad aj na Vseobecnej topologii.

Dalsim vysledkom, pri dokaze ktoreho sa da pouzit Zornova lema, je Tichonovova veta vo vseobecnej topologii. (Existuje viacero dokazov tejto vety, vacsina z nich pouziva Zornovu lemu alebo nejaky jej dosledok; ako napriklad spominany vysledok, ze kazdy filter je obsiahnuty v ultrafiltri.)

[Martin Sleziak]

Niektore aplikacie Zornovej lemy mozete najst v mojich poznamkach k teorii mnozin alebo aj v tomto texte venovanom cisto Zornovej leme.

Medzičasom pribudol aj text k predmetu Aplikácie teórie množín: viewtopic.php?t=598
Tam sa dá tiež nájsť viacero ukážok použitia Zornovej lemy.