Cvičenia ZS 2016/17 - PriF

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých cvičeniach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na cvičenie - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na cvičeniach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

19.9. cvičenie nebolo, na prírodovedeckej fakulte bolo do 14.00 voľno.

1. cvičenie (26.9.):
Vlastne išlo o opakovacie cvičenie, kde sme robili skôr veci zo strednej školy. (Reálne sa veciam z tohoto predmetu začneme venovať na druhom cviku.)
Z týchto úloh sme stihli 1a,b,c,d, 2e,f,i a 3.
Popritom sme zopakovali niečo o riešení kvadratických rovníc a Vietových vzťahoch.
Viackrát sme použili vzorec $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, takže sme si spomenuli, že podobné vzorce fungujú aj pre vyššie mocniny.
Napríklad $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ a podobné vzťahy aj pre vyššie mocniny.

Spoiler:

$a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$
$a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$
$a^6-b^6=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$
atď.

Podobný vzorec je $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, analogické rovnosti platia pre nepárne exponenty.

Spoiler:

$a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$
$a^7+b^7=(a+b)(a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6)$
atď.

[Martin Sleziak]

2. cvičenie (3.10.):
Venovali sme sa holubníkovému princípu. Príklady k tejto téme sú tu: http://msleziak.com/vyuka/2016/komb/01c ... _holub.pdf
Na dnešnom cviku sme stihli úlohy 1,2,6,8.

Aj nabudúce chceme pokračovať nejakými úlohami spomedzi týchto. (Určite sa chceme pozrieť aspoň na niektoré s rozmiestňovaním bodov.)

Ešte azda spomeniem to, že úloha dva je dosť známa na to, aby mala samostatný článok na Wikipédii: https://en.wikipedia.org/wiki/Mutilated ... rd_problem. A existuje veľa ďalších úloh podobného typu - s dláždením šachovnice alebo podobných útvarov, dominami, triminami a pod. (A aspoň s jednou úlohou takéhoto typu sa na tomto predmete ešte stretneme.)

[Martin Sleziak]

3. cvičenie (10.10.):
Pokračovali sme v úlohách na holubníkový princíp.
Stihli sme príklady 5, 7, 11, 12, 13, 18, 22, 23a, 23c.
Príklad 23b je ťažší. (Však preto je aj označený hviezdičkou.) Zdalo sa, že viacerých z vás celkom zaujal a že sa chcete skúsiť zamyslieť nad riešením.)
Ak niekto je zvedavý (spoiler), tak sa môže pozrieť napríklad pozrieť sem. A určite sa dá nájsť riešenie aj na mnohých iných miestach.

[Martin Sleziak]

4. cvičenie (17.10.):

Dnes nás bolo na cvičení menej, pretože prváci z PriF mali dekanské voľno - imatrikulácie.

S tými ľuďmi, ktorí prišli, sme prešli niekoľko príkladov na indukciu, konkrétne 1,4,12 a 14*.

Príkladom na matematickú indukciu sa chceme venovať i na budúcom cviku. (Vtedy by nás už malo byť viac.)

[Martin Sleziak]

5. cvičenie (24.10.):
Riešili sme úlohy na matematickú indukciu.

K viacerým úlohám z tejto sady sa dajú nakresliť pekné obrázky alebo sa o nich dá dočítať kadečo zaujímavé, tak sem pridám nejaké linky.
* Triangular number
* The square of an integer is equal to the sum of consecutive odd numbers (zhruba rovnaký obrázok sa dá nájsť aj na Wikipédii v článku square number)
* 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
* Geometric series
* Square pyramidal number
* Lazy caterer's sequence
* All horses are the same color

[Martin Sleziak]

31.10. cvičenie nebolo (dekanské voľno)

6. cvičenie (7.11.):
Rátali sme príklady na kombinatorické princípy a počítanie:
* úlohy 4,7,8,9 z 03cvicenie_pocit.pdf
* úlohy 3,6 z 04cvicenie_pocit.pdf

[Martin Sleziak]

7. cvičenie (14.11.):
Úlohy 5, 8, 11 z 04cvicenie_pocit.pdf.
Úlohy 1, 2 z 05cvicenie_kombper.pdf.

Dohodli sme sa, že budúci týždeň (21.11) je písomka. Rezervoval som na ňu miestnosť F1-328.

[Martin Sleziak]

21.11. bola písomka

8. cvičenie (28.11.): Stihli sme úlohu 3 z 05cvicenie_kombper.pdf a úlohy 1, 2 z 06cvicenie_binom.pdf.

Identitu $\sum\limits_{k=0}^{n} \binom nk = 2^n$ sme ukázali sme si ju viacerými spôsobmi - pomocou binomickej vety, matematickou indukciou, kombinatoricky. (Pri dôkaze matematickou indukciou som sa snažil nakresliť obrázok, z ktorého by mohlo byť vidno, čo sa vlastne v indukčnom kroku robí.)

K tejto identite pridám aj nejaké linky:
https://proofwiki.org/wiki/Sum_of_Binom ... ower_Index
http://math.stackexchange.com/questions ... natorially
http://math.stackexchange.com/questions ... binomni-2n
http://math.stackexchange.com/questions ... -0n-n-k-2n

Tiež sme dokazovali $\sum\limits_{k=1}^n k \binom nk = n\cdot 2^{n-1}$.
Opäť pár liniek:
https://proofwiki.org/wiki/Increasing_S ... efficients
http://math.stackexchange.com/questions ... se-r-n2n-1
http://math.stackexchange.com/questions ... mnii-n2n-1
http://math.stackexchange.com/questions ... 1-for-each

[Martin Sleziak]

9. cvičenie (5.12.):
Z 06cvicenie_binom.pdf sme sa pozreli na úlohy 5 a 6.
Z 07cvicenie_cesty.pdf sme urobili úlohy 4 a 7.