Prečo Maschkeho veta ide cez ortogonálny doplnok iba nad C?

[Martin Sleziak]

V Exercise 8.7, p.76 sa robil dôkaz Maschkeho vety takým spôsobom, že na $\mathbb{C}G$-module sme zobrali štandardný (komplexný) skalárny súčin, t.j.
$$(u,v)=\sum_{i} a_i \overline{b_i},$$
pre $u=\sum a_ig_i$, $v=\sum b_ig_i$.

Potom sa z neho urobil nový súčin pomocou predpisu
$$[u,v]=\sum_{g\in G}(ug,vg)$$
a ukázalo sa, že keď urobíme ortogonálny doplnok vzhľadom na tento nový súčin, tak $U^\bot$ je podmodul a $U\oplus U^\bot=V$.

Nevidím, v čom by bol problém, ak by sme pracovali nad $\mathbb R$ (tam by sme v definícii súčinu nemuseli komplexne združovať).

Mne sa teda zdá, že rovnaký dôkaz prejde aj nad $\mathbb R$. Tak si chcem overiť, či som tam niečo prehliadol, a autori mali nejaký vážny dôvod spomenúť dôkaz takéhoto typu iba pre $F=\mathbb C$.