Týka sa to Exercise 10.6 zo strany 94.
Exercise 10.6: Let $G=Q_8=\langle a,b; a^4=1, a^2=b^2, b^{-1}ab=a^{-1} \rangle$, and let $V$ be the $\mathbb{C}G$-module given in Example 4.5(2). Thus $V$ has basis $v_1$, $v_2$ and
$$
v_1 a=iv_1 \qquad v_1b=v_2 \\
v_2a=-iv_2 \qquad v_2b=-v_1
$$
Show that $V$ is irreducible, and find a $\mathbb{C}G$-submodule of $\mathbb{C}G$ which is isomorphic to $V$.
Pre istotu pripomeniem, že $Q_8=\{a^ib^j; i\in\{0,1,2,3\}, j\in\{0,1\}\}$, pričom počítať sa tam dá na základe pravidiel $ba^3=ab$, $ba^2=b^3=a^2b$, $ba=a^3b$. (Ja som sa párkrát v tejto úlohe pri počítaní v $Q_8$ pomýlil - rátal som ako v dihedrálnej grupe.)
Pozeral som aj vzadu v riešeniach a aj v tom solution manuale, čo niekto spísal. V oboch prípadoch píšu, ako ten podmodul vyzerá, ale nie to, ako na tvar podmodulu prišli.
Tak sem napíšem, ako som ho hľadal ja - a moja otázka je či sa to dalo nájsť aj nejako inak. (Alebo či sme mali niečo, z čoho sa tvar toho podmodulu dal nejako ľahko uhádnuť.)
Moje riešenie. Ja som to skúšal postupom z dôkazu vety 10.5. T.j. treba si zobrať ľubovoľný vektor $w\in V$ a pracovať s homomorfizmom $r\mapsto wr$ z $\mathbb CG$ do $V$. Ja som to skúsil pre $v=v_1$, t.j. mám homomorfizmus $\varphi \colon r \mapsto v_1r$,
$$
\begin{align}
e\varphi&=v_1 \qquad &b\varphi&=v_2\\
a\varphi&=iv_1 \qquad &ab\varphi&=iv_2\\
a^2\varphi&=-v_1 \qquad &a^2b\varphi&=-v_2\\
a^3\varphi&=-iv_1 \qquad &a^3b\varphi&=-iv_2\\
\end{align}
$$
Potom dostaneme $\operatorname{Ker}\varphi=\{x_0e+x_1a+x_2a^2+x_3a^3+x_4b+x_5ab+x_6a^2b+x_7a^3b; x_0+ix_1-x_2-ix_3=0, x_4+ix_5-x_6-ix_7=0\}$.
Mali by sme nájsť "doplnok" z Maschkeho vety. Vieme, že to je vlastne ortogonálny doplnok pri vhodnom skalárnom súčine a dokonca, keď pracujeme v $\mathbb CG$, tak je to ortogonálny doplnok pre štandardný skalárny súčin. (Vysvetlím nižšie.)
Ortogonálny doplnok je potom generovaný vektormi
$$w_1=e-ia-a^2+ia^3\\
w_2=b-iab-a^2b+ia^3b$$
a pre tieto vektory máme
$w_1a=iw_1$, $w_2a=-iw_2$
$w_1b=w_2$, $w_2b=-iw_1$
Spoiler:
Pozorovanie: Ak pracujeme v $\mathbb CG$, $[u,v]$ je skalárny súčin z dôkazu Maschkeho vety a $(u,v)$ je štandardný skalárny súčin, tak $(u,v)=0$ $\Leftrightarrow$ $[u,v]=0$.
Dôkaz. Štandardný skalárny súčin môžeme vyjadriť ako $(u,v)=\sum_{g\in G}a_g\overline{b_g}$ pre $u=\sum_{g\in G} a_gg$ a $v=\sum_{g\in G}b_g$. Z toho dostaneme
$$[u,v]=\sum_{x\in G}(ux,vx)=|G|(u,v).$$
Spoiler:
$$
\begin{align}
e\psi&=v_2 \qquad & b\psi&=-v_1 \\
a\psi&=-iv_2 \qquad & ab\psi&=-iv_2 \\
a^2\psi&=-v_2 \qquad & a^2b\psi&=-v_2 \\
a^3\psi&=iv_2 \qquad & a^3b\psi&=iv_2 \\
\end{align}
$$
Máme $\operatorname{Ker}\psi = \{x_0e+x_1a+x_2a^2+x_3a^3+x_4b+x_5ab+x_6a^2b+x_7a^3b; x_0-ix_1-x_2+ix_3=0, x_4-ix_5-x_6+ix_7=0\}$.
Ortogonálny doplnok je generovaný vektormi
$$
u_1=e+ia-a^2-ia^3,\\
u_2=b+iab-a^2b-ia^3b.
$$
V tomto prípade platí
$u_1a=-iu_1$, $u_1b=u_2$,
$u_2a=iu_2$, $u_2b=u_1$,
čiže dostávame opäť podmodul izomorfný zo zadaným modulom.