Cvičenia ZS 2016/17 - FMFI

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých cvičeniach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na cvičenie - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na cvičeniach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. cvičenie (20.9.):
Vlastne išlo o opakovacie cvičenie, kde sme robili skôr veci zo strednej školy. (Reálne sa veciam z tohoto predmetu začneme venovať na druhom cviku.)
Z týchto úloh sme stihli 1a,b,c,d, 2a,c,d,e,f a 3.
Popritom sme zopakovali niečo o riešení kvadratických rovníc a Vietových vzťahoch.
Viackrát sme použili vzorec $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, takže sme si spomenuli, že podobné vzorce fungujú aj pre vyššie mocniny.
Napríklad $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ a podobné vzťahy aj pre vyššie mocniny.

Spoiler:

$a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$
$a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$
$a^6-b^6=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$
atď.

Podobný vzorec je $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, analogické rovnosti platia pre nepárne exponenty.

Spoiler:

$a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$
$a^7+b^7=(a+b)(a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6)$
atď.

V súvislosti s úlohou 3 som sa snažil ešte na konci povedať niečo o zlatom reze.

[Martin Sleziak]

2. cvičenie (27.9.):
Venovali sme sa holubníkovému princípu. Príklady k tejto téme sú tu: http://msleziak.com/vyuka/2016/komb/01c ... _holub.pdf
Na dnešnom cviku sme stihli úlohy 1,2,6,8.

Aj nabudúce chceme pokračovať nejakými úlohami spomedzi týchto. (Určite sa chceme pozrieť aspoň na niektoré s rozmiestňovaním bodov.)

Ešte azda spomeniem to, že úloha dva je dosť známa na to, aby mala samostatný článok na Wikipédii: https://en.wikipedia.org/wiki/Mutilated ... rd_problem. A existuje veľa ďalších úloh podobného typu - s dláždením šachovnice alebo podobných útvarov, dominami, triminami a pod. (A aspoň s jednou úlohou takéhoto typu sa na tomto predmete ešte stretneme.)

[Martin Sleziak]

3. cvičenie (4.10.):
Pokračovali sme v úlohách na holubníkový princíp.
Stihli sme príklady 5, 7, 11, 12, 13, 19, 23a, 23c.
Príklad 23b je ťažší. (Však preto je aj označený hviezdičkou.) Zdalo sa, že viacerých z vás celkom zaujal a že sa chcete skúsiť zamyslieť nad riešením.)
Ak niekto je zvedavý (spoiler), tak sa môže pozrieť napríklad pozrieť sem. A určite sa dá nájsť riešenie aj na mnohých iných miestach.

[Martin Sleziak]

4. cvičenie (11.10.):
Riešili sme úlohy na indukciu.
Stihli sme: úlohy 2,3,5,6,9,11,18,17. (Aj keď pri úlohách 5 a 9 sme si iba ukázali obrázkový dôkaz. V úlohe 17 ešte chýbalo dokončenie indukčného kroku - ak bude treba, tak sa k nemu vrátime.)

Pretože k viacerým veciam, ktoré sme robili sa dajú nakresliť pekné obrázky alebo sa o nich dá dočítať kadečo zaujímavé, tak sem pridám nejaké linky.
* Triangular number
* The square of an integer is equal to the sum of consecutive odd numbers (zhruba rovnaký obrázok sa dá nájsť aj na Wikipédii v článku square number)
* 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
* Geometric series
* Square pyramidal number
* Lazy caterer's sequence

[Martin Sleziak]

5. cvičenie (18.10.):
Ešte sme sa vrátili k indukcii a pozreli sa na to, či všetky kone majú rovnakú farbu.
Potom sme sa venovali príkladom, ktoré sú v podstate na sčítací a násobiaci princíp: http://msleziak.com/vyuka/2016/komb/03c ... _pocit.pdf
Stihli sme úlohy 2,4,5 a 7.

[Martin Sleziak]

6. cvičenie (18.10.):
Stále sme riešili príklady na kombinatorické princípy a počítanie.
Konkrétne z 03cvicenie_pocit.pdf sme urobilli 8 a 9.
Z 04cvicenie_pocit.pdf sme stihli 3, 5, 6 a 11. (Aj keď úlohu 11 sme stihli len tak veľmi zrýchlene.)

[Martin Sleziak]

1.11. bolo dekanské voľno.

7. cvičenie (8.11.): Ešte sme sa vrátili k riešeniu nejakých úloh zo sady z minula, konkrétne 8 a 12. (Aj keď 12 sme stihli už iba tak narýchlo na konci.) Z novej sady úloh sme stihli úlohy 1, 2 a 6.

[Martin Sleziak]

8. cvičenie (15.11.): Úlohy 3 a 4 z 05cvicenie_kombper.pdf.
Z novej sady úloh sme stihli iba prvú, ktorá hovorí o tom, že $\sum\limits_{k=0}^{n} \binom nk = 2^n$. Ukázali sme si ju však viacerými spôsobmi - pomocou binomickej vety, matematickou indukciou, kombinatoricky. (Pri dôkaze matematickou indukciou som sa snažil nakresliť obrázok, z ktorého by mohlo byť vidno, čo sa vlastne v indukčnom kroku robí.)

K tejto identite pridám aj nejaké linky:
https://proofwiki.org/wiki/Sum_of_Binom ... ower_Index
http://math.stackexchange.com/questions ... natorially
http://math.stackexchange.com/questions ... binomni-2n
http://math.stackexchange.com/questions ... -0n-n-k-2n

[Martin Sleziak]

22.11 bola písomka.

9. cvičenie (29.11.):
Z 06cvicenie_binom.pdf sme stihli úlohy 2 a 5.
Pozreli sme sa aj na prvú úlohu z 07cvicenie_cesty.pdf.

Tu sú nejaké linky k identite $\sum\limits_{k=1}^n k \binom nk = n\cdot 2^{n-1}$.
https://proofwiki.org/wiki/Increasing_S ... efficients
http://math.stackexchange.com/questions ... se-r-n2n-1
http://math.stackexchange.com/questions ... mnii-n2n-1
http://math.stackexchange.com/questions ... 1-for-each

Spomenuli sme si, že jedna z identít dokazovaných na cviku, sa volá Vandermondova identita. Niekoľko dôkazov sa dá nájsť aj priamo na Wikipédii.