V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Prednášky ZS 2016/2017
Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, Nina Hronkovičová, bpokorna, davidwilsch, jaroslav.gurican, makovnik
-
jaroslav.gurican
- Posts: 229
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2016/2017
1. prednáška (22. 9. 2016)
Prvá prednáška bola úvodná, trochu som sa venoval "technickým" záležitostiam, snažil som sa veľmi zhruba povedať, o čom sa budeme v priebehu prvých dvoch semestrov učiť a potom som sa vás snažil na jednom motivačnom príklade presvedčiť, že z matematického hľadiska je zmysluplné pracovať aj s "priestormi", ktoré majú rozmer viac ako 3 (v príklade sme vlastne hovorili o 9 rozmernom priestore) a tiež, že je bežne zmysluplné používať aj iné objekty (čísla), ako tie, s ktorými ste sa stretli doteraz.
Priamo matematike sme sa venovali pomerne málo, povedali sme:
a) definíciu binárnej operácie na množine $A$ a uviedli nejaké príklady
b) hovorili sme o dvoch základných vlastnostiach binárnych operácií (konkrétna BO ich môže, ale nemusí mať), konktétne sme definovalo komutatívu a asociatívnu operáciu a skontrolovali sme niektoré operácie, či majú niektorú z týchto dvoch vlastností
c) definovali sme tri špeciálne prvky pre danú binárnu operáciu, ľavý, pravý a obojstranný neutrálny prvok ($e_l,\ e_p,\ ,e$), pri niektorých BO sme skontrolovali či majú niektoré z týchto špeciálnych prvkov, hovorili sme aj o tom že niekedy môže byť niektoré z nich aj viaceré.
Dokázali sme prvú matematickú vetu: Ak má BO $\circ$ na množine $A$ aj ľavý ($e_l$), aj pravý ($e_p$) neutrálny prvok, tak tieto sa musia rovnať, t.j. $e_l=e_p$.
Tiež sme skonštatovali, že to o.i. znamená, že ak má nejaká BO napr. dva (alebo viac) ľavé neutrálne prvky, tak nemá pravý neutrálny prvok (a "naopak").
Prvá prednáška bola úvodná, trochu som sa venoval "technickým" záležitostiam, snažil som sa veľmi zhruba povedať, o čom sa budeme v priebehu prvých dvoch semestrov učiť a potom som sa vás snažil na jednom motivačnom príklade presvedčiť, že z matematického hľadiska je zmysluplné pracovať aj s "priestormi", ktoré majú rozmer viac ako 3 (v príklade sme vlastne hovorili o 9 rozmernom priestore) a tiež, že je bežne zmysluplné používať aj iné objekty (čísla), ako tie, s ktorými ste sa stretli doteraz.
Priamo matematike sme sa venovali pomerne málo, povedali sme:
a) definíciu binárnej operácie na množine $A$ a uviedli nejaké príklady
b) hovorili sme o dvoch základných vlastnostiach binárnych operácií (konkrétna BO ich môže, ale nemusí mať), konktétne sme definovalo komutatívu a asociatívnu operáciu a skontrolovali sme niektoré operácie, či majú niektorú z týchto dvoch vlastností
c) definovali sme tri špeciálne prvky pre danú binárnu operáciu, ľavý, pravý a obojstranný neutrálny prvok ($e_l,\ e_p,\ ,e$), pri niektorých BO sme skontrolovali či majú niektoré z týchto špeciálnych prvkov, hovorili sme aj o tom že niekedy môže byť niektoré z nich aj viaceré.
Dokázali sme prvú matematickú vetu: Ak má BO $\circ$ na množine $A$ aj ľavý ($e_l$), aj pravý ($e_p$) neutrálny prvok, tak tieto sa musia rovnať, t.j. $e_l=e_p$.
Tiež sme skonštatovali, že to o.i. znamená, že ak má nejaká BO napr. dva (alebo viac) ľavé neutrálne prvky, tak nemá pravý neutrálny prvok (a "naopak").
-
jaroslav.gurican
- Posts: 229
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2016/2017
2. prednáška (29. 9. 2016)
Hovorili sme o inverzných prvkoch pre daný prvok (opäť ľavý, pravý a obojstranný). Uviedli sme príklady a dokázali, že ak pre asociatívnu operáciu pre daný prvok $a$ existuje aj ľavý ($a^{-1}_l$) aj prvý ($a^{-1}_p$) inverzný prvok, tak sa rovnajú. Pozor, tvrdenie nemusí platiť pre neasociatívnu operáciu. Poznamenali sme, že to o.i. znamemá, že ak pre dané $a$ existujú dva rôzne ľavé inverzné prvky, už neexistuje pravý inverzný a "naopak" (dôležitý špeciálny prípad sú zobrazenia, ak pre zobrazenie $f: A\to A$ - alebo dokonca aj $f: A\to B$, i keď v tomto prípade to nevyplýva striktne z "uvedeného" tvrdenia - existujú napr. aspoň dve rôzne pravé inverzné zobrazenia, neexistuje ľavé inverzné zobrazenie).
Definovali sme pojem grupy, komutatívnej grupa a pojem poľa. Uviedli sme niekoľko príkladov aj na grupy aj na polia. Pre polia $(F,+,.)$, keď označíme neutrálny prvok v grupe $(F,+)$ znakom 0 sme dokázali, že $$(\forall a\in F)\ a. 0 = 0. a= 0$$
Toto potom znamená, že BO $.$ je komutatívna na celej množine $F$ a nielen na $F\setminus \{0\}$, ako požaduje definícia a podobne, neutrálny prvok grupy $(F\setminus \{0\}, .)$, ktorý sme označili znakom $1$ je neutrálny prvok operácie $.$ na celej množine $F$.
Hovorili sme o inverzných prvkoch pre daný prvok (opäť ľavý, pravý a obojstranný). Uviedli sme príklady a dokázali, že ak pre asociatívnu operáciu pre daný prvok $a$ existuje aj ľavý ($a^{-1}_l$) aj prvý ($a^{-1}_p$) inverzný prvok, tak sa rovnajú. Pozor, tvrdenie nemusí platiť pre neasociatívnu operáciu. Poznamenali sme, že to o.i. znamemá, že ak pre dané $a$ existujú dva rôzne ľavé inverzné prvky, už neexistuje pravý inverzný a "naopak" (dôležitý špeciálny prípad sú zobrazenia, ak pre zobrazenie $f: A\to A$ - alebo dokonca aj $f: A\to B$, i keď v tomto prípade to nevyplýva striktne z "uvedeného" tvrdenia - existujú napr. aspoň dve rôzne pravé inverzné zobrazenia, neexistuje ľavé inverzné zobrazenie).
Definovali sme pojem grupy, komutatívnej grupa a pojem poľa. Uviedli sme niekoľko príkladov aj na grupy aj na polia. Pre polia $(F,+,.)$, keď označíme neutrálny prvok v grupe $(F,+)$ znakom 0 sme dokázali, že $$(\forall a\in F)\ a. 0 = 0. a= 0$$
Toto potom znamená, že BO $.$ je komutatívna na celej množine $F$ a nielen na $F\setminus \{0\}$, ako požaduje definícia a podobne, neutrálny prvok grupy $(F\setminus \{0\}, .)$, ktorý sme označili znakom $1$ je neutrálny prvok operácie $.$ na celej množine $F$.
-
jaroslav.gurican
- Posts: 229
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2016/2017
3. prednáška (6. 10. 2016)
Na tejto prednáške sme sa venovali hlavne grupám. Dokázali sme zákony o krátení (ľavý a pravý) pre grupy. Dokázali sme "alternatívnu" definíciu grupy pomocou riešenia rovníc (v skriptách je to uvedené ako cvičenie 3.2.13) a pomocou nej sme dokázali, že ak je na neprázdnej konečnej množine $G$ daná asociatívna operácia $\circ$, pre ktorú platia obidva zákony o krátení, tak dvojica $(G,\circ)$ je grupa (cvičenie 3.2.14 v skriptách).
Potom sme definovali operácie $\oplus$ a $\odot$ pre množiny zvyškových tried $Z_n=\{\overline{0}_n,\dots,\overline{n-1}_n\}$ (aby to označenie nebolo také zložité, dohodli sme sa, že to budeme písať jednoducho ako $Z_n=\{0,\dots,n-1\}$, čiže budeme používať napr. tvar $Z_5=\{0,1,2,3,4\}$). $\oplus$ a $\odot$ sú pre dané $n$, t.j. pre $Z_n$ definované pomocou zvyšku sčítania, respektíve násobenia modulo číslo $n$.
Uvedené vety o grupách (teda vlastne tú druhú o asociatívnej operácii s kráteniami na konečnej množine) sme použili na dôkaz tvrdenia, že $(Z_n\setminus\{0\},\odot)$ je (dokonca komutatívna) grupa práve vtedy, keď je $n$ prvočíslo a teda, že $(Z_n,\oplus,\odot)$ je pole práve vtedy, keď je $n$ prvočíslo. Toto tvrdenie je v skriptách dokázané trochu iným spôsobom (ale keď si porovnáte dôkaz v skriptách a dôkaz toho tvrdenia z prednášky, uvidíte, že majú rovnakú myšlienku).
Ešte sme dokázali jednu vetu o prvkoch v poliach (v podstate všetky položky z tvrdenia 3.3.4 okrem $(viii)$), niektoré sme dokázali "explicitne", o niektorých sme hovorili len "v rámci poznámky".
Poznámka: keďže sme urobili dôkazy cvičení 3.2.13 a 3.2.14 na prednáške, nebudem za ne dávať body v prípade, že ich napíšete do "fóra" (body samozrejme môžete dostať v prípade, že pre tie tvrdenia (cvičenia) dáte do fóra dôkazy podstatne odlišné od tých, ktoré som uviedol na prednáške, ale v tomto prípade asi nemá príliš zmysel znovu objavovať kolesá).
Na tejto prednáške sme sa venovali hlavne grupám. Dokázali sme zákony o krátení (ľavý a pravý) pre grupy. Dokázali sme "alternatívnu" definíciu grupy pomocou riešenia rovníc (v skriptách je to uvedené ako cvičenie 3.2.13) a pomocou nej sme dokázali, že ak je na neprázdnej konečnej množine $G$ daná asociatívna operácia $\circ$, pre ktorú platia obidva zákony o krátení, tak dvojica $(G,\circ)$ je grupa (cvičenie 3.2.14 v skriptách).
Potom sme definovali operácie $\oplus$ a $\odot$ pre množiny zvyškových tried $Z_n=\{\overline{0}_n,\dots,\overline{n-1}_n\}$ (aby to označenie nebolo také zložité, dohodli sme sa, že to budeme písať jednoducho ako $Z_n=\{0,\dots,n-1\}$, čiže budeme používať napr. tvar $Z_5=\{0,1,2,3,4\}$). $\oplus$ a $\odot$ sú pre dané $n$, t.j. pre $Z_n$ definované pomocou zvyšku sčítania, respektíve násobenia modulo číslo $n$.
Uvedené vety o grupách (teda vlastne tú druhú o asociatívnej operácii s kráteniami na konečnej množine) sme použili na dôkaz tvrdenia, že $(Z_n\setminus\{0\},\odot)$ je (dokonca komutatívna) grupa práve vtedy, keď je $n$ prvočíslo a teda, že $(Z_n,\oplus,\odot)$ je pole práve vtedy, keď je $n$ prvočíslo. Toto tvrdenie je v skriptách dokázané trochu iným spôsobom (ale keď si porovnáte dôkaz v skriptách a dôkaz toho tvrdenia z prednášky, uvidíte, že majú rovnakú myšlienku).
Ešte sme dokázali jednu vetu o prvkoch v poliach (v podstate všetky položky z tvrdenia 3.3.4 okrem $(viii)$), niektoré sme dokázali "explicitne", o niektorých sme hovorili len "v rámci poznámky".
Poznámka: keďže sme urobili dôkazy cvičení 3.2.13 a 3.2.14 na prednáške, nebudem za ne dávať body v prípade, že ich napíšete do "fóra" (body samozrejme môžete dostať v prípade, že pre tie tvrdenia (cvičenia) dáte do fóra dôkazy podstatne odlišné od tých, ktoré som uviedol na prednáške, ale v tomto prípade asi nemá príliš zmysel znovu objavovať kolesá).
-
jaroslav.gurican
- Posts: 229
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2016/2017
4. prednáška (13. 10. 2016)
Ešte sme venovali nejaký čas poliam, dokázali sme ešte nejaké ďalšie vlastnosti.
Väčšinu času sme venovali definíci vektorového priestoru nad poľom $F$, príkladom tohoto pojmu (hlavne n-tice $F^n$ s vhodným sčítaním a násobením skalárom, prípadne "vačšie pole ako vektorový priestor nad menším poľom" - napr. $C$ na $R$, $C$ nad $Q$, $R$ nad $Q$). Urobili sme nejaké dohody ohľadom označovania a dokázali niekoľko základných vlastností vektorových priestorov.
Ešte sme venovali nejaký čas poliam, dokázali sme ešte nejaké ďalšie vlastnosti.
Väčšinu času sme venovali definíci vektorového priestoru nad poľom $F$, príkladom tohoto pojmu (hlavne n-tice $F^n$ s vhodným sčítaním a násobením skalárom, prípadne "vačšie pole ako vektorový priestor nad menším poľom" - napr. $C$ na $R$, $C$ nad $Q$, $R$ nad $Q$). Urobili sme nejaké dohody ohľadom označovania a dokázali niekoľko základných vlastností vektorových priestorov.
-
jaroslav.gurican
- Posts: 229
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky ZS 2016/2017
5. prednáška (20. 10. 2016)
Definovali sme pojem podpriestoru v.p. $V$ nad poľom $F$. Ukázali sme si nejaké príklady podpriestorov (podmnožín vektorového priestoru, ktoré sú podpriestory, aj podmnožiny, ktoré nie sú podprietory). Dokázali sme, že prienik neprázdneho systému podpriestorov daného priestoru je tiež jeho podpriestor. Definovali sme pojem najmenšieho podpriestoru priestoru $V$ obsahujúceho podmnožinu $A$ priestoru $V$. Dokázali sme, že takýto najmenší podpriestor existuje (ako prienik istého neprázdneho systému podpriestorov) a že je určený jednoznačne). Potom sme pre dané vektory z v.p. $V$ nad $F$ zadefinovali špeciálnu množinu $$S=\{a_1\vec{\alpha_1}+\dots+a_n\vec{\alpha_n}; a_1,\dots,a_n\in F\}$$ a dokázali sme pre ňu zatiaľ to, že má prvé dve vlastnosti z definície najmenšieho podpriestoru pre množinu $A=\{\vec{\alpha_1},\dots,\vec{\alpha_n}\}\subseteq V$. Sľúbil som, že dokážeme aj tretiu.
Definovali sme pojem podpriestoru v.p. $V$ nad poľom $F$. Ukázali sme si nejaké príklady podpriestorov (podmnožín vektorového priestoru, ktoré sú podpriestory, aj podmnožiny, ktoré nie sú podprietory). Dokázali sme, že prienik neprázdneho systému podpriestorov daného priestoru je tiež jeho podpriestor. Definovali sme pojem najmenšieho podpriestoru priestoru $V$ obsahujúceho podmnožinu $A$ priestoru $V$. Dokázali sme, že takýto najmenší podpriestor existuje (ako prienik istého neprázdneho systému podpriestorov) a že je určený jednoznačne). Potom sme pre dané vektory z v.p. $V$ nad $F$ zadefinovali špeciálnu množinu $$S=\{a_1\vec{\alpha_1}+\dots+a_n\vec{\alpha_n}; a_1,\dots,a_n\in F\}$$ a dokázali sme pre ňu zatiaľ to, že má prvé dve vlastnosti z definície najmenšieho podpriestoru pre množinu $A=\{\vec{\alpha_1},\dots,\vec{\alpha_n}\}\subseteq V$. Sľúbil som, že dokážeme aj tretiu.