Podgrupy a faktorová grupa

[Martin Sleziak]

a) Nájdite (aspoň jednu) podgrupu $H$ grupy $(\mathbb Z_{15},+)$, ktorá je izomorfná s~grupou $(\mathbb Z_5,+)$.\\
b) Je podgrupa $H$ v~časti a) určená jednoznačne, alebo existuje viacero takých podgrúp?\\
c) Pre grupu $G=(\mathbb Z_{15},+)$ a jej podgrupu $H$, ktorú ste našli v~časti a), vypíšte všetky prvky faktorovej grupy $G/H$ a zostavte tabuľku grupovej operácie tejto faktorovej grupy. S~akou známou grupou je faktorová grupa izomorfná?

Veľmi podobná úloha sa objavila na písomke aj minulý školský rok: viewtopic.php?t=770

[Martin Sleziak]

Riešenie

Hľadaná podgrupa $H$ je $H=\{0,3,6,9,12\}$.

Takto vyzerá tabuľka operácie pre túto podgrupu a pre grupu $\mathbb Z_5$ (aby som ich lepšie rozlíšil, označujem sčitovanie modulo $15$ ako $+_{15}$ a sčitovanie modulo $5$ ako $+_5$):
$$
\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|ccccc}
+_{15} & 0 & 3 & 6 & 9 &12 \\\hline
0 & 0 & 3 & 6 & 9 &12 \\
3 & 3 & 6 & 9 &12 & 0 \\
6 & 6 & 9 &12 & 0 & 3 \\
9 & 9 &12 & 0 & 3 & 6 \\
12 &12 & 0 & 3 & 6 & 9
\end{array}
&
\begin{array}{c|ccccc}
+_5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\
2 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\
3 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\
4 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3
\end{array}
\end{array}
$$

Z ľavej tabuľky vidíme, že $H$ je uzavretá na sčitovanie modulo $+$. Keďže je aj konečná, tak to je podgrupa. (Alebo môžeme skontrolovať, že je uzavretá aj na opačné prvky.)

Porovnaním týchto dvoch tabuliek vidíme, že ide o podgrupu izomorfnú s $(\mathbb Z_5,+_5)$. (Konkrétne $0\mapsto 0$, $3\mapsto1$, $6\mapsto2$, $9\mapsto3$, $12\mapsto4$ je izomorfizmus $\mathbb Z_{15} \to \mathbb Z_5$.)

K otázke, či $H$ je jednoznačne určená a ako sa vlastne dala nájsť sa ešte vrátime.

Nájsť faktorovú grupu je pomerne ľahké. Triedy rozkladu $G$ podľa podgrupy $H$ sú
$[0]=\{0,3,6,9,12\}$
$[1]=\{1,4,7,10,13\}$
$[2]=\{2,5,8,11,14\}$

Pre $G/H$ dostaneme takúto tabuľku grupovej operácie:
$$
\begin{array}{c|ccc}
+ & [0] & [1] & [2] \\\hline
[0] & [0] & [1] & [2] \\
[1] & [1] & [2] & [0] \\
[2] & [2] & [0] & [1]
\end{array}
$$

Očividne ide o grupu izomorfnú so $(\mathbb Z_3,+)$:
$$
\begin{array}{c|ccc}
+ & 0 & 1 & 2 \\\hline
0 & 0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 1
\end{array}
$$

[Martin Sleziak]

Je len jedna možnosť pre podgrupu $H$?

Vráťme sa k tomu, ako sa vlastne dala nájsť podgrupa $H$ a zistiť, či je takáto podgrupa jediná.

Jedna možnosť je nájsť všetky podgrupy $\mathbb Z_{15}$. Dá sa to robiť postupom ako tu: viewtopic.php?t=770
Podgrupa $H=\{0,3,6,9,12\}$ je medzi nimi jediná päťprvková. Tak to je jediný zmysluplný kandidát na podgrupu izomorfnú s grupou $\mathbb Z_5$. Izomorfizmus nie je ťažké nájsť.

Iná možnosť je uvedomiť si to, že ak máme nejaký izomorfizmus $f\colon\mathbb Z_5\to H$, kde $H$ je podgrupa grupy $\mathbb Z_{15}$, tak na $f$ sa dá pozerať aj ako na zobrazenie $\mathbb Z_5\to\mathbb Z_{15}$. Teraz už $f$ nemusí byť surjektívne - stále to je ale injektívny homomorfizmus. Vedeli by sme nájsť všetky homomorfizmy zo $\mathbb Z_5$ do $\mathbb Z_{15}$? S úlohou takéhoto typu sme sa na cvičeniach stretli (keď sme sa zaoberali tým, či $(\mathbb Z_4,+)$ je izomorfná s nejakými inými štvorprvkovými grupami.) Nejaká takáto úloha je vyriešená tu: viewtopic.php?t=769 Základná myšlienka je uvedomiť si, že ak poznáme $f(1)$, tak môžeme nájsť obrazy všetkých prvkov zo $\mathbb Z_5$.

Vyskúšame všetky možnosti výberu $f(1)$:
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 &10 &11 &12 &13 &14 \\\hline
2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 &10 &12 &14 & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 &11 &13 \\\hline
3 & 0 & 3 & 6 & 9 &12 & 0 & 3 & 6 & 9 &12 & 0 & 3 & 6 & 9 &12 \\\hline
4 & 0 & 4 & 8 &12 & 1 & 5 & 9 &13 & 2 & 6 &10 &14 & 3 & 7 &11 \\\hline
0 & 0 & 5 &10 & 0 & 5 &10 & 0 & 5 &10 & 0 & 5 &10 & 0 & 5 &10 \\\hline
\end{array}
$$
Podobne ako v úlohe vyriešenej tu viewtopic.php?t=770 túto tabuľku treba chápať takto: Ak by existoval homomorfizmus s takouto hodnotou $f(1)$ (uvedenou v riadku $1$), tak ostatné hodnoty v stĺpci nám hovoria, kam by sa museli zobraziť ostatné prvky.

Je jasné, že do úvahy prichádzajú iba tie stĺpce, kde sme v poslednom riadku dostali nulu; pretože pre každý homomorfizmus platí $f(0)=0$.
Prvý stĺpec je pre náš problém nezaujímavý; pretože to nie je injektívny homomorfizmus.
Dostali sme štyri ďalšie stĺpce. Dalo by sa skontrolovať, že vo všetkých prípadoch ide skutočne o injektívny homomorfizmus.
Nám však úplne stačí všimnúť si, že v týchto stĺpcoch sa vyskytujú práve hodnoty z množiny $H=\{0,3,6,9,12\}$. Toto je teda jediný kandidát na podgrupu izomorfnú s grupou $\mathbb Z_5$. Aby sme zistili, že je skutočne izomorfná, stačí nám nájsť jeden izomorfizmus (t.j. skontrolovať jedno z týchto zobrazení). To sme vlastne urobili už na začiatku tohoto riešenia.

[Martin Sleziak]

Nie každá podmnožina je podgrupa

Viacerí ste tvrdili, že $\mathbb Z_5$ je podgrupa $\mathbb Z_{15}$.

Je pravda, že $\mathbb Z_5$ s operáciou sčitovania modulo $5$ je grupa. Takisto je pravda, že $\mathbb Z_5=\{0,1,2,3,4\}$ je podmnožina $\mathbb Z_{15}$. Ak sa však pozriete na definíciu podgrupy, tak to je taká podmnožina, ktorá tvorí grupu s operáciou zúženou z danej grupy. T.j. ak sa pýtam, či $\{0,1,2,3,4\}$ je podgrupa $\mathbb Z_{15}$, tak ako operáciu použijem sčitovanie modulo $15$. Lenže s touto operáciou množina $\{0,1,2,3,4\}$ netvorí grupu -- dokonca nie je na túto operáciu ani uzavretá. (Toto je vlastne prvá podmienka v kritériu podgrupy.)