Prednášky ZS 2016/17

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška (20.9.):
Veta o delení so zvyškom. Deliteľnosť. Najväčší spoločný deliteľ a jeho základné vlastnosti. (V texte v prednáške sme došli po lemu 2.1.11 - viacero vecí sme ale preskočili, keďže sú pomerne ľahké.)

Nehovorili sme o tom, ako sa dajú vyrátať čísla spĺňajúce Bézoutovu identitu - ak si potrebujete pripomenúť rozšírený Euklidov algoritmus, nejaké odkazy nájdete tu. Plánujeme sa ale k nemu vrátiť pri lineárnych kongruenciách.)

[Martin Sleziak]

2. prednáška (27.9.):
Najväčší spoločný deliteľ. Dokončil som príklad z minula a povedal som niečo o n.s.n. Preskočil som lemu 2.1.13 a dôsledok 2.1.14 - vrátime sa k nim neskôr, keď ich budeme potrebovať použiť.
Prvočísla. Definícia, základné vlastnosti, základná veta aritmetiky (jednoznačnosť a existencia rozkladu na prvočísla).
Rozloženie prvočísel. Ukázali sme, že v množine prvočísel sú ľubovoľne dlhé medzery. Potom sme si ukázali jeden dôkaz toho, že rad prevrátených hodnôt prvočísel diverguje. (Dokončoval som ho trochu narýchlo - ak bude treba, tak ho môžem stručne zopakovať.)
Povedali sme si tiež niečo o číslach bez kvadratických deliteľov, ktoré sme využívali v dôkaze.
Takisto sme v dôkaze využili to, že rad $\sum\frac1{n^2}$ konverguje. (Čo sa dá ukázať pomerne ľahko.) Ak vás zaujíma dôkaz toho, že presná hodnota tejto sumy je $\pi^2/6$, tak nejaký dôkaz je v texte prednáške (v dodatku) - je to dôkaz pomocou Fourierových radov. V existuje veľa ďalších dôkazov, nejaké odkazy nájdete tu: viewtopic.php?t=65

[Martin Sleziak]

3. prednáška (4.10.):
Rad prevrátených hodnôt prvočísel diverguje. Ukázali sme si ďalšie dva dôkazy, že $\sum\frac1p=+\infty$.
Prvočíselná funkcia a prvočíselná veta. Sformulovali sme prvočíselnú vetu. Ako príklad jej použitia sme ukázali, že množina $\{p/q; p,q\in\mathbb P\}$ je hustá v $(0,\infty)$.
Len ako zaujímavosť sme si na konci spomenuli niečo o nerovnosti medzi $\pi(x)$ a $\operatorname{li}(x)$. Pridám linku na Wikipédiu: Skewes' number.

[Martin Sleziak]

4. prednáška. (11.10.)
Prvočíselná funkcia. Dokázali sme Čebyševove nerovnosti. Dokázali sme odhad na n-té prvočíslo: $an\ln n<p_n<bn\ln n$.
Čebyševova funkcia. Odvodili sme asymptotický vzťah prvočíselnej funkcie a Čebyševovej funkcie.

[Martin Sleziak]

5. prednáška. (18.10.)
Bertrandov postulát. Dokázali sme Bertrandov postulát.
Prvočísla špeciálneho tvaru a niektoré otvorené problémy. Povedali sme si niečo Fermatových číslach. Ako zaujímavosť sme spomenuli Gauss-Wantzelovu vetu, ktorá hovorí o skonštruovateľnosti pravidelných $n$-uholníkov pravítkom a kružidlom.

[Martin Sleziak]

6. prednáška. (25.10.)
Na začiatku som sa ešte vrátil k harmonickému radu a k tomu ako rýchlo diverguje. Povedali sme si niečo o Eulerovej konštante $\gamma$.
Kongruencie. Stihli sme definíciu a základné vlastnosti kongruencií. (V podstate sme prešli časť 3.1.1 z textu.)

Niečo som povedal o pojme kongruencia v trochu inom, ale veľmi príbuznom, zmysle. Konkrétne o kongruenciách v grupách a okruhoch, ktoré úzko súvisia s normálnymi podgrupami a ideálmi. (Máme vlastne 3 rôzne pohľady, ako sa dá pozerať na normálne podgrupy. Okrem definície sa na ne dá pozerať ako na jadrá homomorfizmov a tiež máme jedno-jednoznačnú korešpondenciu medzi grupami a kongruenciami. Podobne je to s ideálmi v okruhoch a okruhovými kongruenciami.)

[Martin Sleziak]

1.11 bolo dekanské voľno.

7. prednáška (8.11.):
Lineárne kongruencie. Veta o tom, kedy existuje riešenie, aký je počet riešení, ako ich nájsť. Vyriešili sme aj jeden konkrétny príklad a na ňom zopakovali aj rozšírený Euklidov algoritmus. (Zápis Euklidovho algoritmu pomocou tabuľky nemám v tých poznámkach, čo som vám dal - niekedy by som to tam mal dopísať. Ak si to niekto chce pozrieť, opäť pridám rovnakú linku, ktorú som sem už raz v súvislosti s Euklidovým algoritmom dal.)
Čínska veta o zvyškoch. Urobili sme dva dôkazy čínskej vety o zvyškoch a ukázali sme si aj konkrétny príklad.
Aritmetické funkcie. Zatiaľ som stihol iba definíciu multiplikatívnej funkcie a dôkaz tohoto tvrdenia: Ak $f$ je multiplikatívna, tak aj $g(n)=\sum\limits_{d\mid n} f(d)$ je multiplikatívna.

[Martin Sleziak]

8. prednáška (15.11.):
Aritmetické funkcie. Multiplikatívne a úplne multiplikatívne funkcie - definícia, základné vlastnosti. Ak $f$ je multiplikatívna, tak aj $g(n)=\sum\limits_{d\mid n} f(d)$ je multiplikatívna. (Na dôkaz sme potrebovali lemu 2.1.13, ktorú som pri prednášaní prvej kapitoly preskočil, tak sme sa vrátili aj k tej.)
Funkcie $d(n)$ a $\sigma(n)$. Vyjadrenie týchto funkcií z kanonického rozkladu. Charakterizácia párnych dokonalých čísel. Nutná podmienka pre nepárne dokonalé čísla.

[Martin Sleziak]

9. prednáška (22.11.):
Eulerova funkcia. Zadefinovali sme funkciu $\varphi(n)$ a dokázali, že je multiplikatívna.
Malá Fermatova veta. Ukázali sme si dôkaz malej Fermatovej vety. (Nerobil som "algebraický" dôkaz, ktorý sme však videli všeobecnejšie pri Eulerovej vete. V poznámkach je ešte jeden kombinatorický dôkaz, ktorý som nerobil.)
Eulerova veta. Urobili sme dva dôkazy Eulerovej vety. (Vynechal som dôkaz opierajúci sa o malú Fermatovu vetu a Čínsku vetu o zvyškoch.)
Ešte Eulerova funkcia. Dokázali sme (dvoma spôsobmi) identitu $n=\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)$.
Lagrangeova veta. Ukázali sme si jeden dôkaz Lagrangeovej vety. (Spomenul som tiež, ako vyplýva z toho, čo viete o počte koreňov polynómu nad poľom. Nerobil som dôkaz pomocou Vandermondovho determinantu.)

V podstate sa vám môže oplatiť pozrieť na dôkazy Malej Fermatovej vety (prípadne aj Eulerovej vety), ktoré sme preskočili. Jednak sú celkom pekné. Navyše budete mať výhodu, že ak budem od vás na skúške chcieť dôkaz tejto vety, tak budete poznať viacero možností, ako ich dokazovať.