RiešenieChceme vybrať $6$ členov disciplinárnej komisie spomedzi štyroch študentov a ôsmich učiteľov. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť, ak v komisii musia byť aspoň traja študenti?
Ak vyberieme 3 študentov a 3 učiteľov: $\binom43\binom83$ možností.
Ak vyberieme 4 študentov a 2 učiteľov: $\binom44\binom82$ možností.
Spolu:
$$\binom43\binom83+\binom44\binom82=4\cdot56+28=224+28=252$$
RiešenieChceme vytvoriť 5-člennú komisiu, pričom členov vyberáme spomedzi $10$ ľudí. Medzi týmito desiatimi ľuďmi sú traja z tej istej strany. Koľko máme možností, ak nemôžeme týchto troch ľudí dať všetkých do komisie?
Celkový počet možností je $\binom{10}5=252$.
Spoiler:
Potrebujeme teda odčítať $\binom72=21$. Výsledok je $\binom{10}5-\binom33\binom72=252-21=231$.
Iné riešenie.
Je to síce o máličko zdĺhavejšie, ale môžeme zrátať počet možností, kde sme z troch spolustranníkov vybrali $0$, $1$, $2$:
$\binom30\binom75+\binom31\binom74+\binom32\binom73=231$
Spoiler:
Súčasne sme zistili, že $\binom{10}5-\binom33\binom72=\binom30\binom75+\binom31\binom74+\binom32\binom73$, t.j.
$$\binom30\binom75+\binom31\binom74+\binom32\binom73+\binom33\binom72=\binom{10}5.$$
Môžete sa zamyslieť nad tým, či sa nejakou podobnou úvahou nedá odvodiť nejaká všeobecnejšia identita s binomickými koeficientami.
Wikipédia: Vandermonde's identity