Samozrejme, ak sa budete na fóre pýtať vy na nejaké príklady, ktoré ste riešili a nedarilo sa vám, tak sa bude snažiť radšej odpovedať na tie, než aby som pridával k tejto úlohe nejaké ďalšie riešenia. (Nižšie som pridal aj linky na nejaké riešenia, ktoré sa dajú nájsť na internete.)
Skúsime sa pozrieť na identitu, ktorú sme odvodili na cviku pomocou mriežok. (Toto som robil na cvičeniach s oboma skupinami. Je to úloha 7 z 07cvicenie_cesty.pdf.)
n−m∑k=0(s+kk)(n−km)=(s+n+1s+m+1)
Podobne ako keď sme to robili na cviku pomocou mriežok, oplatí sa uvedomiť si, že pre m>n je to rovnosť 0=0 a už zostáva riešiť len prípad n≥m.
Vďaka symetrii Pascalovho trojuholníka môžeme tú istú sumu prepísať aj ako.
n−m∑k=0(s+ks)(n−km)=(s+n+1s+m+1)
Môžeme si ju prepísať aj po jednotlivých členoch, ak nám to pomôže lepšie vidieť do toho, čo robíme:
(ss)(nm)+(s+1s)(n−1m)+⋯+(s+n−m−1s)(m−1m)+(s+n−ms)(mm)
Čiže si môžeme všimnúť že horné "indexy" majú v každom sčítanci rovnaký súčet, konkrétne s+n, dolné indexy zostávajú rovnaké.
Azda sa oplatí všimnúť aj to, že pre s=0 dostaneme (s+ks)=(k0)=1 a suma (2) má tvar
n−m∑k=0(n−km)=(n+1m+1)
čo môžeme ekvivalentne prepísať ak ako
n∑j=m(jm)=(n+1m+1).
Toto je identita, pre ktorú sme videli nejaké dôkazy na prednáške - hokejková identita.
Ak sme si všimli toto, tak možno je šanca, že nejaké podobné metódy ako pri odvodení tejto identity by mohli zabrať aj tu.
Nejaké linky, kde sa dá pozrieť riešenie tejto (alebo veľmi podobnej identity):