Doplnenie na bázu

[Martin Sleziak]

Zadania

Na fóre už sú odkryté aj zadania (a zväčša i riešenia) písomiek z výberových cvík z minulých rokov.
Tie čo som nespomínal v minulých postoch by mali byť tu:
viewtopic.php?t=792
viewtopic.php?t=793
viewtopic.php?t=805

Skupina A:

Ak je to možné, doplňte zadané vektory na bázu priestoru $(\mathbb Z_5)^4$.
(Ak sa to nedá, zdôvodnite prečo. Ak nájdete bázu obsahujúcu dané vektory, zdôvodnite prečo je to skutočne báza.)
$\vec x_1=(1,1,2,4)$, $\vec x_2=(2,1,3,3)$, $\vec x_3=(1,0,1,3)$.

Skupina B:

Ak je to možné, doplňte zadané vektory na bázu priestoru $(\mathbb Z_5)^4$.
(Ak sa to nedá, zdôvodnite prečo. Ak nájdete bázu obsahujúcu dané vektory, zdôvodnite prečo je to skutočne báza.)
$\vec x_1=(1,1,2,3)$, $\vec x_2=(3,1,3,4)$, $\vec x_3=(1,0,3,1)$.

Riešenie
V oboch prípadoch vyjde redukovaný stupňovitý tvar v takomto tvare (kde na miest hviezdičiek sú nejaké čísla):
$\begin{pmatrix} \boxed{1} & 0 & * & 0 \\ 0 & \boxed{1} & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \boxed{1} \\ \end{pmatrix}$
Týmto sme zistili, že zadané vektory sú lineárne nezávislé (nevyšiel nám nulový riadok). Dajú sa teda doplniť na bázu.
Bázu teda môžeme doplniť vektorom $(0,0,1,0)$, pretože v treťom stĺpci nemáme vedúcu jednotku.

Prečo je to báza? Vidno to napríklad z toho, že ak pridáme takýto riadok k predošlej matici, tak dostaneme maticu "takmer" v stupňovitom tvare. ("Takmer" v tomto prípade znamená, že treba ešte vymeniť riadky.) Vieme, že nenulové riadky takejto matice sú lineárne nezávislé.

Iné možnosti doplnenia na bázu. Pripomeňme, čo vieme zo Steinitzovej vety: Vieme, že sa určite dá pridať niektorý z vektorov štandardnej bázy $\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3, \vec e_4$. Nemáme však zaručené, že to bude fungovať pre ktorýkoľvek z nich.
Môžeme si všimnúť, že v tomto konkrétnom prípade by sme dostali bázu pridaním $\vec e_1$, $\vec e_2$ alebo $\vec e_3$. Nefungovalo by to však pre vektor $\vec e_4$. (Samozrejme, najjednoduchšie je doplniť $\vec e_3=(0,0,1,0)$; pri tomto vektore hneď vidno, že to je báza; pri ostatných musíme troch špekulovať.)

Takto vyšli výpočty v jednotlivých skupinách.
Skupina A:

Spoiler:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$
Ešte raz inak:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 3 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$
Kontrola vo WA: row reduce ((1,1,2,4),(2,1,3,3),(1,0,1,3))

Skupina B:

Spoiler:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$
To isté ešte raz inak:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 3 & 4 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 4 & 1 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\sim$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$
Kontrola vo WA -prvý pokus: row reduce ((1,1,2,3),(3,1,3,4),(1,0,3,1))
Vidíme, že keď sme skúsili nájsť výsledok nad $\mathbb R$, tak tam vyšli zlomky s päťkou v menovateli, čo nám nehovorí nič o tom ako to vyjde v $\mathbb Z_5$.
Ale po troche hľadania - hlavne keď už máme vyrátaný nejaký výsledok o ktorom si myslíme, že je správny - vieme nájsť aj čísla ktoré sú v rovnakých zvyškových triedach modulo 5 a nad $\mathbb R$ dostaneme rovnakú redukovanú stupňovitú maticu.
Druhý pokus: row reduce ((1,1,7,3),(3,1,13,4),(1,0,3,1))

Skúška
Pripomeniem, ako sa robí skúška úpravy na redukovaný tvar: viewtopic.php?t=531

Iné postupy

Viacerí ste najprv pomocou sústavy vyriešili otázku, či zadané vektory sú lineárne závislé. Ak ste sa pri jej riešení nepomýlili, tak ste zistili, že sp nezávislé.
Potom ste boli v situácii, že ste potrebovali pridať ďalší vektor, a vlastne ste si museli tipnúť ktorý. (Ako som už spomenul vyššie, nefungoval by vektor $(0,0,0,1)$. Ostatné vektory zo štandarnej bázy fungujú.)

Takýto postup je správny. Ale je o dosť menej efektívny ako ten, ktorý som napísal vyššie.
Jednak vlastne dvakrát rátate veľmi podobné sústavy.
Navyše ste si museli tipnúť aký vektor pridávate. V predošlom postupe sme hádať nemuseli.

Chyby, ktoré sa vyskytovali v riešeniach

Niektorí ste overili, že vektory generujúce $S$ sú lineárne nezvásilé. A potom ste prihlásili, že tam pridáte nejaký vektor. Bez toho, že by ste sa vôbec zaoberali tým, tkorý vektor máme pridať.

Niekto pri úprave ako jednu z riadkových operácií použili násobenie číslom $5$, čím sa jeden riadok vynuloval. To nie je legitímna riadková operácia, v $\mathbb Z_5$ máme iba prvky $0$, $1$, $2$, $3$ a $4$.

Vyskytla sa písomka, kde bola lineárna nezávislosť vektorov $\vec x_1$, $\vec x_2$, $\vec x_3$ overená takto - "na trikrát".

• Zostavili ste sústavu vyjadrujúcu, že $\vec x_3$ je lineárna kombinácia vektorov $\vec x_1$, $\vec x_2$. Zistili ste, že nemá riešenie.
• Zostavili ste sústavu vyjadrujúcu, že $\vec x_2$ je lineárna kombinácia vektorov $\vec x_1$, $\vec x_3$. Zistili ste, že nemá riešenie.
• Zostavili ste sústavu vyjadrujúcu, že $\vec x_1$ je lineárna kombinácia vektorov $\vec x_2$, $\vec x_3$. Zistili ste, že nemá riešenie.

Toto je zbytočne komplikované riešenie niečoho, čo sa dalo zrátať oveľa ľahšie - namiesto troch sústav úplne stačilo riešiť jednu.
Buď ste mohli riešiť sústavu $\alpha_1\vec x_1+\alpha_2\vec x_2+\alpha_3\vec x_3=0$. (Ak vyjde iba nulové riešenie, tak sú nezávislé.)
Alebo ak radšej chcete sústavu s menej neznámymi, tak ste mohli riešiť $\alpha_1\vec x_1+\alpha_2\vec x_2=\vec x_3$. (To je presne prvá sústava z tých troch, ktoré ste riešili.) Táto sústava nemá riešenie - teda $\vec x_3$ nie je lineárnou kombináciou vektorov $\vec x_1$ a $\vec x_2$. Ešte si treba uvedomiť, že $\vec x_1$ a $\vec x_2$ sú nezávislé - pre dva vektory to vieme skontrolovať ľahko. A potom už je to hotové. (Vieme, že ak sú vektory lineárne závislé, tak niektorý je lineárne kombinácia predchádzajúcich. Čiže aby boli LZ, tak buď musia byť závislé už $\vec x_1$ a $\vec x_2$, alebo tretí vektor je kombinácia týchto prvých dvoch.)

[Matej Martinka]

Mám otázku. Pri riešení matíc nad poľom reálnych čísel používame ERO nejakým spôsobom. Sú pri riešení matíc v modulárnej algebre (ako napr. v tejto úlohe) nejaké zvláštnosti a obmedzenia oproti reálnej v tom, aké operácie sa (ne)smú používať? Ako v nej vyzerá napríklad ERO typu 2: delenie riadka celým číslom, t.j. násobenie inv. prvkom k nemu podľa násobenia?

[Martin Sleziak]

Mám otázku. Pri riešení matíc nad poľom reálnych čísel používame ERO nejakým spôsobom. Sú pri riešení matíc v modulárnej algebre (ako napr. v tejto úlohe) nejaké zvláštnosti a obmedzenia oproti reálnej v tom, aké operácie sa (ne)smú používať? Ako v nej vyzerá napríklad ERO typu 2: delenie riadka celým číslom, t.j. násobenie inv. prvkom k nemu podľa násobenia?

Keď pracujem nad ľubovoľným poľom, tak ERO sú presne tie isté. Výmena riadkov, pripočítanie $c$-násoboku riadku k inému, vynásobenie nejakým $c$, pričom $c$ je z poľa nad ktorým pracujeme.

Táto posledná časť je presne to, na čo si treba dať pozor:
* Aby sme používali operácie z poľa.
* Aby sme násobili iba prvkami z poľa. (T.j. ak pracujeme v $\mathbb Z_5$, tak nemôžeme vynásobiť číslom $5$ alebo $\frac13$.)