Obrazy lineárne závislých vektorov

[Martin Sleziak]

Dokážte: Nech $V$, $W$ sú vektorové priestory a $f\colon V\to W$ je lineárne zobrazenie. Ak vektory $\vec x_1, \vec x_2, \dots, \vec x_k\in V$ sú lineárne závislé, tak aj ich obrazy $f(\vec x_1), f(\vec x_2), \dots, f(\vec x_k)$ sú lineárne závislé.

Riešenie.
Ak $\vec x_1, \vec x_2, \dots, \vec x_k\in V$ sú lineárne závislé, znamená to, že existujú skaláry $c_1,c_2,\dots,c_n$ také, že nie sú všetky nulové a platí $$c_1\vec x_1+ c_2\vec x_2+ \dots+ c_k\vec x_k=\vec 0.$$
Potom platí aj
$$f(c_1\vec x_1+ c_2\vec x_2+ \dots+ c_k\vec x_k)=f(\vec 0).$$
(Tu sme využili iba to, že $f$ je zobrazenie.) Navyše ak $f$ je lineárne, tak vieme, že $f(\vec0)=\vec0$ a $f(c_1\vec x_1+ c_2\vec x_2+ \dots+ c_k\vec x_k)= c_1f(\vec x_1)+ c_2f(\vec x_2)+ \dots+ c_k(\vec x_k)$. Dostávame teda rovnosť
$$c_1f(\vec x_1)+ c_2f(\vec x_2)+ \dots+ c_k(\vec x_k) = \vec0,$$
ktorá nám hovorí, že $f(\vec x_1), f(\vec x_2), \dots, f(\vec x_k)$ sú lineárne závislé. $\square$

Iné riešenie. Obmenou - t.j. dokazujeme: Ak $f(\vec x_1), f(\vec x_2), \dots, f(\vec x_k)$ sú lineárne nezávislé, tak aj $\vec x_1, \vec x_2, \dots, \vec x_k$ sú lineárne nezávislé.

Predpokadajme teda, že $f(\vec x_1), f(\vec x_2), \dots, f(\vec x_k)$ sú nezávislé.

Ak platí
$$c_1\vec x_1+ c_2\vec x_2+ \dots+ c_k\vec x_k=\vec 0$$
tak máme aj
$$f(c_1\vec x_1+ c_2\vec x_2+ \dots+ c_k\vec x_k)=f(\vec 0).$$
Z linearity
$$c_1f(\vec x_1)+ c_2f(\vec x_2)+ \dots+ c_k(\vec x_k) = \vec0$$
a pretože $f(\vec x_1), f(\vec x_2), \dots, f(\vec x_k)$ sú nezávislé tak dostaneme
$$c_1=c_2=\dots=c_k=0.$$
Tým sme ukázali lineárnu nezávislosť vektorov $\vec x_1, \vec x_2, \dots, \vec x_k$. $\square$

[Martin Sleziak]

Poznámky k vašim riešeniam

Viacerí ste v riešeniach dokazovali, že platí $f(c_1\vec x_1+ c_2\vec x_2+ \dots+ c_k\vec x_k)= c_1f(\vec x_1)+ c_2f(\vec x_2)+ \dots+ c_k(\vec x_k)$.
Toto som bral ako jednu so základných vecí o lineárnych zobrazeniach (t.j. vieme z prednášky, netreba dokazovať); ale samozrejme ak ste dokázali niečo navyše, oproti tomu čo som tu čakal, tak to nijako nevadí.

Ak ste využívali to, že vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď niektorý je lineárna kombinácia predchádzajúcich, oplatí sa zamyslieť i nad prípadom, že prvý vektor je nulový. (To je to, čo v knihe označujete ako AVPP.)

V jednom z riešení sa objavila formulácia, že $f(c_1\vec x_1+ c_2\vec x_2+ \dots+ c_k\vec x_k)= c_1f(\vec x_1)+ c_2f(\vec x_2)+ \dots+ c_k(\vec x_k)$ dostanete z toho, že $f$ je homomorfizmus.
Slovo homomorfizmus sme používali pri grupách a okruhoch. (A používa sa aj pri ďalších algebraických štruktúrach, s niektorými sa ešte v priebehu štúdia na matfyze pravdepodobne stretnete.) Nepoužíva sa pri vektorových priestoroch.
Na rovnosť $f(\vec x+\vec y)=f(\vec x)+f(\vec y)$ sa naozaj dá pozerať ako na homomorfizmus - ak si všímame iba sčitovanie, tak $(V,+)$ a $(W,+)$ sú komutatívne grupy a lineárne zobrazenie je súčasne homomorfizmom medzi týmito grupami.
Nie je to však tak už pri rovnosti $f(c\vec x)=cf(\vec x)$. (Tá sa nepodobá na definíciu homomorfizmu. A navyše násobenie je tu medzi objektami dvoch rôznych typov - skalármi a vektormi - čiže nie je to taká stiutácia ako pri násobení v okruhu alebo pri grupovej operácii.)