Regulárnosť hornej trojuholníkovej $\Rightarrow$ nenulové na diagonále

[Martin Sleziak]

Ak máme hornú trojuholníkovú maticu $A$, ktorá je regulárna, tak diagonálne prvky $a_{ii}$ musia byť nenulové.

Keď už vieme niečo o determinantoch, tak vlastne to okamžite môžeme vidieť z toho, že $|A|=a_{11}\cdot a_{22} \cdots a_{nn} \ne 0$.

Ale nie moc ťažko sa to dá odvodiť aj na základe toho, čo vieme o hodnosti. Napríklad ak $a_{nn}=0$, tak posledný riadok je nulový a hodnosť je najviac $(n-1)$.

Podobný argument nám hovorí, že ak $a_{kk}=0$, tak podmatica $k\times k$ v ľavom hornom rohu má hodnosť najviac $k-1$. Pridanie nulových riadkov hodnosť neovplyvní, takže matica pozostávajúca z prvých $k$ stĺpcov má hodnosť najviac $k-1$. Ak pridáme zvyšných $(n-k)$ stĺpcov, tak sa hodnosť zvýši najviac na $n-1$.