V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorý z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Prednášky LS 2016/17
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5666
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2016/17
1. prednáška (12.2):
Na začiatku som sa snažil aspoň trochu naznačiť aké veci zhruba budeme preberať na tomto predmete.
Ako jeden z príkladov som spomenul maticové vyjadrenie pre Fibonacciho čísla. Konkrétne to, ako sa tam dajú využiť vlastné čísla sa dá nájsť v texte k prednáške ako príklad 3.5.1. (Ale možno jednoduchšie je vydržať a počkať, kým budeme mať vybudovaný aparát, ktorý sa tam používa.) Potom sme sa začali venovať skalárnym súčinom, čo je prvá téma tohoto semestra.
Euklidovský vektorový priestor. Definícia vektorového súčinu, príklady, základné vlastnosti. Definícia veľkosti vektora a jej vlastnosti (Schwarzova nerovnosť, trojuholníková nerovnosť). Uhol vektorov, kolmé (ortogonálne) vektory.
Cvičenie: Overenie, či zadaný predpis určuje skalárny súčin. (T.j. úlohy ako príklad 1.1.4, úloha 1.2.2).
Na začiatku som sa snažil aspoň trochu naznačiť aké veci zhruba budeme preberať na tomto predmete.
Ako jeden z príkladov som spomenul maticové vyjadrenie pre Fibonacciho čísla. Konkrétne to, ako sa tam dajú využiť vlastné čísla sa dá nájsť v texte k prednáške ako príklad 3.5.1. (Ale možno jednoduchšie je vydržať a počkať, kým budeme mať vybudovaný aparát, ktorý sa tam používa.) Potom sme sa začali venovať skalárnym súčinom, čo je prvá téma tohoto semestra.
Euklidovský vektorový priestor. Definícia vektorového súčinu, príklady, základné vlastnosti. Definícia veľkosti vektora a jej vlastnosti (Schwarzova nerovnosť, trojuholníková nerovnosť). Uhol vektorov, kolmé (ortogonálne) vektory.
Cvičenie: Overenie, či zadaný predpis určuje skalárny súčin. (T.j. úlohy ako príklad 1.1.4, úloha 1.2.2).
-
Martin Sleziak
- Posts: 5666
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2016/17
2. prednáška (1.3):
Ortogonálny doplnok: Definícia. Základné vlastnosti ortogonálneho doplnku. (Je to podpriestor; ortogonálny doplnok obracia inklúzie; ortogonálny doplnok lineárneho obalu; $(S+T)^\bot=S^\bot\cap T^\bot$.
Ortonormálna báza: Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces a existencia ortonormálnej bázy. Každý vektor sa dá jednoznačne zapísať ako súčet vektora z $S$ a vektora z $S^\bot$. (T.j. $V=S\oplus S^\bot$.)
Cvičenie: Príklad na Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces. (Presne ten, čo je vyriešený v poznámkach.) Ukázali sme si ešte aj iný možný postup nájdenia ortogonálnej resp. ortonormálnej bázy. (Na stránku som dal novšiu verziu poznámok k prednáške, kde som doplnil aj ukážku tohoto výpočtu. Vo verzii, ktorú som tam dal na začiatku semestra, nebol.)
Rovnosť $S^{\bot\bot\bot}=S^\bot$ (úloha 1.2.14).
Ortogonálna projekcia je lineárne zobrazenie (úloha 1.2.11).
Ortogonálny doplnok: Definícia. Základné vlastnosti ortogonálneho doplnku. (Je to podpriestor; ortogonálny doplnok obracia inklúzie; ortogonálny doplnok lineárneho obalu; $(S+T)^\bot=S^\bot\cap T^\bot$.
Ortonormálna báza: Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces a existencia ortonormálnej bázy. Každý vektor sa dá jednoznačne zapísať ako súčet vektora z $S$ a vektora z $S^\bot$. (T.j. $V=S\oplus S^\bot$.)
Cvičenie: Príklad na Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces. (Presne ten, čo je vyriešený v poznámkach.) Ukázali sme si ešte aj iný možný postup nájdenia ortogonálnej resp. ortonormálnej bázy. (Na stránku som dal novšiu verziu poznámok k prednáške, kde som doplnil aj ukážku tohoto výpočtu. Vo verzii, ktorú som tam dal na začiatku semestra, nebol.)
Rovnosť $S^{\bot\bot\bot}=S^\bot$ (úloha 1.2.14).
Ortogonálna projekcia je lineárne zobrazenie (úloha 1.2.11).
-
Martin Sleziak
- Posts: 5666
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2016/17
3. prednáška (8.3):
Ortogonálny doplnok. Ešte sme si ukázali nejaké veci, ktoré plati pre ortogonálny doplnok v konečnorozmerných priestoroch: $S^{\bot\bot}=S$, $(S\cap T)^\bot=S^\bot+T^\bot$.
Kvadratické formy. Definícia. Kongruentné matice. Každá kvadratická forma sa dá previesť na kanonický tvar. (Nerobil som dôkaz detailne, iba sme na prednáške naznačili ako sa robí indukčný krok. Všetky kroky dôkazu sme však videli na konkrétnych príkladoch.) Na viacerých príkladoch sme si ukázali dva rôzne spôsoby ako upraviť kvadratickú formu na kanonický tvar. (Doplnenie na štvorec, riadkové a stĺpcové operácie.)
Ortogonálny doplnok. Ešte sme si ukázali nejaké veci, ktoré plati pre ortogonálny doplnok v konečnorozmerných priestoroch: $S^{\bot\bot}=S$, $(S\cap T)^\bot=S^\bot+T^\bot$.
Kvadratické formy. Definícia. Kongruentné matice. Každá kvadratická forma sa dá previesť na kanonický tvar. (Nerobil som dôkaz detailne, iba sme na prednáške naznačili ako sa robí indukčný krok. Všetky kroky dôkazu sme však videli na konkrétnych príkladoch.) Na viacerých príkladoch sme si ukázali dva rôzne spôsoby ako upraviť kvadratickú formu na kanonický tvar. (Doplnenie na štvorec, riadkové a stĺpcové operácie.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5666
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2016/17
4. prednáška (15.3):
Zákon zotrvačnosti. Ukázali sme, že kanonický tvar kvadratickej formy je až na zámenu premenných jednoznačný.
Sylvestrovo kritérium. Ukázali sme si viacero podmienok ekvivalentných s tým, že daná symetrická matica je kladne definitná.
Na cviku som chvíľu hovoril niečo o tom, ako súvisí kladná (záporná) definitnosť s extrémami funkcií viac premenných.
Prerátali sme dve úlohy, kde bolo treba overiť, pre aké hodnoty parametra je matica kladne definitná. Nejakú úlohu takéhoto typu máte vyriešenú na fóre: viewtopic.php?f=34&t=289
Potom som aspoň veľmi stručne povedal, ako by sa dalo niečo spraviť s úlohou o Gramovej matici. (Ale tú sme poriadne nedokončili - zostala tam väčšina vecí na rozmyslenie.)
Zákon zotrvačnosti. Ukázali sme, že kanonický tvar kvadratickej formy je až na zámenu premenných jednoznačný.
Sylvestrovo kritérium. Ukázali sme si viacero podmienok ekvivalentných s tým, že daná symetrická matica je kladne definitná.
Na cviku som chvíľu hovoril niečo o tom, ako súvisí kladná (záporná) definitnosť s extrémami funkcií viac premenných.
Prerátali sme dve úlohy, kde bolo treba overiť, pre aké hodnoty parametra je matica kladne definitná. Nejakú úlohu takéhoto typu máte vyriešenú na fóre: viewtopic.php?f=34&t=289
Potom som aspoň veľmi stručne povedal, ako by sa dalo niečo spraviť s úlohou o Gramovej matici. (Ale tú sme poriadne nedokončili - zostala tam väčšina vecí na rozmyslenie.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5666
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2016/17
5. prednáška (22.3):
Matica prechodu. Definícia, matica prechodu opačným smerom, ako sa menia súradnice pri prechode k novej báze.
Matica zobrazenia pri danej báze. Definícia. Súradnice obrazu vektora. Ako vyzerá matica zobrazenia pri prechode k novej báze. Definícia podobnosti matíc.
Na cviku sme spôsobmi zrátali maticu prechodu medzi dvoma konkrétne zadanými bázami - úloha 3.1.2.
Okrem toho sme sa pozreli na pár príkladov týkajúcich sa podobnosti matíc: úloha 3.1.1 - je to relácia ekvivalencie, úlohy 3.1.4, 3.1.3 a 3.1.6. V súvislosti s úlohou 3.1.6 sme sa pozreli aj na to, že $A^{-1}$ je presne matica zobrazenia $f^{-1}$ pri tej istej báze.
Matica prechodu. Definícia, matica prechodu opačným smerom, ako sa menia súradnice pri prechode k novej báze.
Matica zobrazenia pri danej báze. Definícia. Súradnice obrazu vektora. Ako vyzerá matica zobrazenia pri prechode k novej báze. Definícia podobnosti matíc.
Na cviku sme spôsobmi zrátali maticu prechodu medzi dvoma konkrétne zadanými bázami - úloha 3.1.2.
Okrem toho sme sa pozreli na pár príkladov týkajúcich sa podobnosti matíc: úloha 3.1.1 - je to relácia ekvivalencie, úlohy 3.1.4, 3.1.3 a 3.1.6. V súvislosti s úlohou 3.1.6 sme sa pozreli aj na to, že $A^{-1}$ je presne matica zobrazenia $f^{-1}$ pri tej istej báze.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5666
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2016/17
6. prednáška (29.3.):
Podobnosť s diagonálnou maticou. Vlastné čísla, vlastné vektory. Matica je podobná s diagonálnou práve vtedy, keď existuje báza zložená z vlastných vektorov. Vlastné vektory k rôznymi vlastným číslam sú lineárne nezávislé. Charakteristický polynóm - definícia, podobné matice majú rovnaký charakteristický polynóm.
Na cvičení sme si ukázali, že podobné matice majú rovnakú hodnosť, determinant, stopu, vlastné čísla. (Ešte sa vrátime k tomu, že viaceré z týchto vecí sa vlastne dajú vyčítať priamo z charakteristického polynómu.) Vyriešili sme úlohu 3.2.10g (nájdenie vlastných čísel a podobnej diagonálnej matice - nestihli sme už nájsť vlastné vektory ku všetkým vlastným číslam; čiže sme nevypočítali celú maticu prechodu).
Podobnosť s diagonálnou maticou. Vlastné čísla, vlastné vektory. Matica je podobná s diagonálnou práve vtedy, keď existuje báza zložená z vlastných vektorov. Vlastné vektory k rôznymi vlastným číslam sú lineárne nezávislé. Charakteristický polynóm - definícia, podobné matice majú rovnaký charakteristický polynóm.
Na cvičení sme si ukázali, že podobné matice majú rovnakú hodnosť, determinant, stopu, vlastné čísla. (Ešte sa vrátime k tomu, že viaceré z týchto vecí sa vlastne dajú vyčítať priamo z charakteristického polynómu.) Vyriešili sme úlohu 3.2.10g (nájdenie vlastných čísel a podobnej diagonálnej matice - nestihli sme už nájsť vlastné vektory ku všetkým vlastným číslam; čiže sme nevypočítali celú maticu prechodu).
-
Martin Sleziak
- Posts: 5666
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2016/17
7. prednáška (5.4.):
Ortogonálna podobnosť. Zadefinovali sme ortogonálne matice a ortogonálnu podobnosť. Dokázali sme Schurovu vetu a tiež to, že reálna symetrická matica má všetky vlastné hodnoty reálne. Z toho sme už dostali vetu o hlavných osiach. Ešte sme stihli ukázať, že pri symetrickej matici sú vlastné vektory prislúchajúce rôznym vlastným číslam na seba kolmé.
Momentálne už máme prebraté všetky veci, ktoré budú na písomke - nabudúce sa skúsime dohodnúť aj na termíne: viewtopic.php?t=1071
Na cvičeniach sme vyrátali dva príklady takého typu, že bola zadaná symetrická matica $A$, a chceli sme nájsť ortogonálnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$, pre ktoré platí $PAP^T=D$. (Konkrétne úlohy 3.2.10I a 3.2.10e.)
Trochu sme sa zaoberali aj násobením blokových matíc a tiež tým, ako sa pre nejaké veľmi jednoduché blokové matice dá nájsť determinant. (Hodilo sa nám to preto, že to zjednodušilo výpočet charakteristického polynómu, ak mala zadaná matica takýto tvar.) Násobeniu blokových matíc je venovaná jedna podkapitola v poznámkach k Algebre 1. K determinantom blokových matíc niečo nájdete napríklad tu:
* viewtopic.php?t=918
* http://math.stackexchange.com/questions ... nt-formula
* http://math.stackexchange.com/questions ... lar-matrix
Ortogonálna podobnosť. Zadefinovali sme ortogonálne matice a ortogonálnu podobnosť. Dokázali sme Schurovu vetu a tiež to, že reálna symetrická matica má všetky vlastné hodnoty reálne. Z toho sme už dostali vetu o hlavných osiach. Ešte sme stihli ukázať, že pri symetrickej matici sú vlastné vektory prislúchajúce rôznym vlastným číslam na seba kolmé.
Momentálne už máme prebraté všetky veci, ktoré budú na písomke - nabudúce sa skúsime dohodnúť aj na termíne: viewtopic.php?t=1071
Na cvičeniach sme vyrátali dva príklady takého typu, že bola zadaná symetrická matica $A$, a chceli sme nájsť ortogonálnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$, pre ktoré platí $PAP^T=D$. (Konkrétne úlohy 3.2.10I a 3.2.10e.)
Trochu sme sa zaoberali aj násobením blokových matíc a tiež tým, ako sa pre nejaké veľmi jednoduché blokové matice dá nájsť determinant. (Hodilo sa nám to preto, že to zjednodušilo výpočet charakteristického polynómu, ak mala zadaná matica takýto tvar.) Násobeniu blokových matíc je venovaná jedna podkapitola v poznámkach k Algebre 1. K determinantom blokových matíc niečo nájdete napríklad tu:
* viewtopic.php?t=918
* http://math.stackexchange.com/questions ... nt-formula
* http://math.stackexchange.com/questions ... lar-matrix
-
Martin Sleziak
- Posts: 5666
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2016/17
8. prednáška (12.4.):
Ortogonálne matice. Popis ortogonálnych matíc $2\times2$ a zodpovedajúcich transformácií. Transformácie zodpovedajúce ortogonálnym maticiam zachovávajú uhly (a teda aj veľkosť, kolmosť, uhol).
Kužeľosečky. Podľa toho, čo ste mi povedali, ste niektorí z vás o kužeľosečkách počuli viac, niektorí menej. Tak som chcvíľu venoval tomu, že som porozprával nejaké stredoškolské veci. Dá sa povedať, že som porozprával zhruba to, čo je napríklad v tomto prehľade. (Reálne som potrebovali iba to, aby sme vedeli aké krivky predstavujú rovnice $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ a $2py=x^2$. Ale keď už sme sa trochu o kužeľosečkách začali rozprávať, tak sa mi zdalo vhodné povedať o nich aj nejaké iné zaujímavé veci.)
Krivky druhého rádu. Popis kriviek vyjadrených ako polynómy druhého stupňa v dvoch premenných. Invarianty kriviek druhého rádu (a ich vzťah k typu krivky). Ukázali sme si, že tieto krivky sú prienikom kužeľa a roviny. (Nerobil som však dôkaz, ktorý je uvedený v poznámkach, že vzájomná poloha roviny a kužeľa naozaj určuje typ krivky.)
Poznamenám, že časť o kužeľosečkách/krivkách druhého rádu je skôr na ilustráciu toho, že veci čo sme preberali sa dajú použiť na niečo zmysluplné. (Dostali sme pekný popis celkom širokej triedy kriviek, čo je z geometrického pohľadu azda aspoň trochu zaujímavé.)
A ďalšia vec, ktorú asi je dobré spomenúť, je to, že sme sa dohodli na termíne písomky: viewtopic.php?t=1071
Ortogonálne matice. Popis ortogonálnych matíc $2\times2$ a zodpovedajúcich transformácií. Transformácie zodpovedajúce ortogonálnym maticiam zachovávajú uhly (a teda aj veľkosť, kolmosť, uhol).
Kužeľosečky. Podľa toho, čo ste mi povedali, ste niektorí z vás o kužeľosečkách počuli viac, niektorí menej. Tak som chcvíľu venoval tomu, že som porozprával nejaké stredoškolské veci. Dá sa povedať, že som porozprával zhruba to, čo je napríklad v tomto prehľade. (Reálne som potrebovali iba to, aby sme vedeli aké krivky predstavujú rovnice $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ a $2py=x^2$. Ale keď už sme sa trochu o kužeľosečkách začali rozprávať, tak sa mi zdalo vhodné povedať o nich aj nejaké iné zaujímavé veci.)
Krivky druhého rádu. Popis kriviek vyjadrených ako polynómy druhého stupňa v dvoch premenných. Invarianty kriviek druhého rádu (a ich vzťah k typu krivky). Ukázali sme si, že tieto krivky sú prienikom kužeľa a roviny. (Nerobil som však dôkaz, ktorý je uvedený v poznámkach, že vzájomná poloha roviny a kužeľa naozaj určuje typ krivky.)
Poznamenám, že časť o kužeľosečkách/krivkách druhého rádu je skôr na ilustráciu toho, že veci čo sme preberali sa dajú použiť na niečo zmysluplné. (Dostali sme pekný popis celkom širokej triedy kriviek, čo je z geometrického pohľadu azda aspoň trochu zaujímavé.)
A ďalšia vec, ktorú asi je dobré spomenúť, je to, že sme sa dohodli na termíne písomky: viewtopic.php?t=1071
-
Martin Sleziak
- Posts: 5666
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2016/17
9. prednáška (19.4.):
Cayley-Hamiltonova veta.
Dokázali sme Cayley-Hamiltonovu vetu.
(Z kapitoly 3.2 som nehovoril o spektrálnom rozklade matice - k nemu sa vrátim neskôr.)
Jordanov normálny tvar. Povedali sme si ako vyzerá Jordanov normálny tvar a vyslovili (bez dôkazu) vetu o tom, že každá matica je podobná s nejakou maticou v Jordanovom tvare (jednoznačne určenou až na poradie Jordanových blokov).
Ukázali sme si dva rôzne spôsoby výpočty Jordanovej matice (aj matice prechodu) na príklad rozmerov $5\times5$. (Väčší rozmer som volil najmä kvôli tomu, aby tam bolo viacero možností, ako môže vyzerať Jordanov tvar.)
Pripomeniem, že o týždeň sa neučí (ŠVK) a o dva týždne je písomka: viewtopic.php?t=1071
Ak zvýši čas, tak po písomke by sme mohli ešte prerátať nejaké príklady na Jordanov tvar alebo aj príklady z písomky. (Ale ak by to dopadlo tak, že budete na písomku potrebovať viac času, tak s tým nemám problém - nemyslím si, že to bude niekto potrebovať, ale teoreticky sa dá písať aj celú trojhodinovku.)
Cayley-Hamiltonova veta.
Dokázali sme Cayley-Hamiltonovu vetu.
(Z kapitoly 3.2 som nehovoril o spektrálnom rozklade matice - k nemu sa vrátim neskôr.)
Jordanov normálny tvar. Povedali sme si ako vyzerá Jordanov normálny tvar a vyslovili (bez dôkazu) vetu o tom, že každá matica je podobná s nejakou maticou v Jordanovom tvare (jednoznačne určenou až na poradie Jordanových blokov).
Ukázali sme si dva rôzne spôsoby výpočty Jordanovej matice (aj matice prechodu) na príklad rozmerov $5\times5$. (Väčší rozmer som volil najmä kvôli tomu, aby tam bolo viacero možností, ako môže vyzerať Jordanov tvar.)
Pripomeniem, že o týždeň sa neučí (ŠVK) a o dva týždne je písomka: viewtopic.php?t=1071
Ak zvýši čas, tak po písomke by sme mohli ešte prerátať nejaké príklady na Jordanov tvar alebo aj príklady z písomky. (Ale ak by to dopadlo tak, že budete na písomku potrebovať viac času, tak s tým nemám problém - nemyslím si, že to bude niekto potrebovať, ale teoreticky sa dá písať aj celú trojhodinovku.)