Zmena súradníc - zadané tri roviny

[Martin Sleziak]

Medzi hviedzičkovými úlohami sa objavilo niečo takéto:

Vzhľadom na súradnicový systém $Oxyz$ je rovina $O^\prime x^\prime y^\prime$ daná rovnicou $2x+3y-6z=-6$, pričom roviny $O^\prime y^\prime z^\prime$, resp. $O^\prime x^\prime z^\prime$ splývajú s rovinami $Oyz$, resp. $Oxz$. Napíšte vyjadrenia "čiarkovaných", súradníc ľubovoľného bodu $M$ pomocou jeho "nečiarkovaných", súradníc, ak viete, že bod $A$ má v oboch súradnicových systémoch súradnice $(2,4,6)$. [$x^\prime =x, y^\prime =y, z^\prime = -\frac{3}{7}(2x+3y-6z+6)$?]

Otázka, ktorú som dostal minulý týždeň po cvičení bola asi takáto: Zo zadania vidno, že osi $z$ a $z'$ sú rovnobežné. Nemalo by potom platiť $z=z'$, resp. $z=z'+c$, kde $c$ je nejaká konštanta?

Odpoveď na túto otázku je tá, že keď sa zamyslíte nad tým, čo vám rovnobežnosť osí hovorí, tak matica prechodu bude mať v poslednom riadku okrem posledného miesta nuly. Teda to mi vlastne hovorí, že $z$ sa nevyskytne vo vyjadrení pre $x'$ ani pre $y'$, môže sa vyskytnúť iba v $z'$.

[Martin Sleziak]

Napíšem tu aj nejaké riešenie. Keďže predpokladám, že ľudia čo riešia hviezdičkové úlohy, si to chcú vyskúšať samostatne, tak som to napísal ako sériu hintov a detaily som dal do spoilerov.

Zo zadaných údajov by som mal byť schopný nájsť bod $O'$.

Výsledok:

Spoiler:

$O'=(0,0,1)$

Výpočet

Spoiler:

Bod $O'$ viem nájsť ako prienik rovín $O'x'y'$, $O'x'z'$, $O'y'z'$. Teda
\begin{align*}
2x+3y-6z&=0\\
x&=0\\
y&=0
\end{align*}
čiže $O'=(0,0,1)$.

Takisto by som mal byť schopný zistiť v akých smeroch idú osi čiarkovanej súradnicovej sústavy $O'x'y'z'$.

Spoiler:

$\vec a = d_1(3,0,1)$, $\vec b = d_2(0,2,1)$,$\vec c = d_3(0,0,1)$

Spoiler:

Ak robím prieniky dvojíc, tak dostanem osi a až na násobok viem povedať vektory v~smere čiarkovaných osí:
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
Ox'y'\cap Ox'z' & y=0, 2x-6z=-6 & \vec a = d_1(3,0,1) \\\hline
Ox'y'\cap Oy'z' & x=0, 3y-6z=-6 & \vec b = d_2(0,2,1) \\\hline
Oy'z'\cap Ox'z' & x=y=0 & \vec c = d_3(0,0,1) \\\hline
\end{array}$$
Teda maticu prechodu viem dostať ako $P=DA$ pre $D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,d_3)$ a
$A=
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$.

Môžem si vyrátať aj
$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}\inv A=
\begin{pmatrix}
\frac13 & 0 & -\frac13 \\
0 & \frac12 & -\frac12 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$.

Ak už mám tieto údaje, viem vyrátať zmenu súradníc jedným i druhým smerom už štandardným postupom, ktorý poznáme z cvika/prednášky. (Dostanem sa nakoniec k výsledku, ktorý bol napísaný aj v zadaní.)

Spoiler:

Dostávam potom pre súradnice takýto vzťah:
\begin{align*}
(x,y,z) &= (0,0,1) + (x',y',z')DA\\
(2,4,6) &= (0,0,1) + (2,4,6)
\begin{pmatrix}
d_1& 0 & 0 \\
0 &d_2& 0 \\
0 & 0 &d_3\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\\
(2,4,5) &= (2,4,6)
\begin{pmatrix}
d_1& 0 & 0 \\
0 &d_2& 0 \\
0 & 0 &d_3\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\\
(2,4,5)
\begin{pmatrix}
\frac13 & 0 & -\frac13 \\
0 & \frac12 & -\frac12 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
&= (2,4,6)
\begin{pmatrix}
d_1& 0 & 0 \\
0 &d_2& 0 \\
0 & 0 &d_3\\
\end{pmatrix}
\\
(\frac23,2,\frac73)=(2d_1,4d_2,6d_3)
\end{align*}
Zistil som, že $d_1=\frac13$, $d_2=\frac12$, $d_2=\frac7{18}$ a pre maticu prechodu dostávam
$$P=DA=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac13 \\
0 & 1 & \frac12 \\
0 & 0 & \frac7{18} \\
\end{pmatrix}.
$$

Matica prechodu opačným smerom je
$$\inv P=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac67 \\
0 & 1 & -\frac97\\
0 & 0 & \frac{18}7 \\
\end{pmatrix}.
$$

Teraz viem zapísať aj transformáciu opačným smerom ako
\begin{align*}
(x',y',z')&=-(0,0,1)\inv P + (x,y,z)\inv P\\
(x',y',z')&=(0,0,-\frac{18}7)+(x,y,z)
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac67 \\
0 & 1 & -\frac97\\
0 & 0 & \frac{18}7 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}