Rovnosť $\aleph_0\cdot 2^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}$

[Martin Sleziak]

Vo viacerých odovzdaných d.ú. ste napísali, že ste nevedeli zdôvodniť rovnosť $\aleph_0\cdot 2^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}$. Môžeme sa skúsiť pozrieť na túto rovnosť. (Samozrejme, dá sa to veľa spôsobmi - pokojne sem môžete napísať váš postup ak máte nejaké iné jednoduché riešenie.)

Nerovnosť $2^{\mathfrak c} \le \aleph_0 \cdot 2^{\mathfrak c}$ je očividná.
Otázka je, či vieme nejako zdôvodniť aj $\aleph_0 \cdot 2^{\mathfrak c} \le 2^{\mathfrak c}$.
Možno nie je zlé si uvedomiť, že ak chceme ukázať, že niečo je menšie alebo rovné $2^{\mathfrak c}$, tak pravdepodobne by nebolo zlé zhora to odhadnúť výrazom takého tvaru, kde je $2$ umocnené na niečo.

Riešenie 1.
$$\aleph_0 \cdot 2^{\mathfrak c} \overset{(1)}\le
2^{\aleph_0} \cdot 2^{\mathfrak c} =
2^{\aleph_0+\mathfrak c} \overset{(2)}=
2^{\mathfrak c}$$
Nerovnosť $(1)$ vyplýva z Cantorovej vety.
V $(2)$ sme využili rovnosť $\aleph_0+\mathfrak c=\mathfrak c$, ktorú môžeme zdôvodniť napríklad takto:
$\mathfrak c \le \aleph_0 + \mathfrak c \le \mathfrak c + \mathfrak c = 2^{\aleph_0}+2^{\aleph_0} =2 \cdot 2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0+1} =2^{\aleph_0} = \mathfrak c$.

Riešenie 2. Je to skoro to isté, ale môžeme to skúsiť aj takto
$$\aleph_0 \cdot 2^{\mathfrak c} \overset{(1)}\le
\mathfrak c \cdot 2^{\mathfrak c} \overset{(2)}\le
2^{\mathfrak c} \cdot 2^{\mathfrak c} =
2^{\mathfrak c+\mathfrak c} \overset{(3)}=
2^{\mathfrak c}$$
Nerovnosti $(1)$ a $(2)$ sú z Cantorovej vety.
Na zdôvodnenie $(3)$ nám stačí overiť, že $\mathfrak c+\mathfrak c = \mathfrak c$, čo môžeme dostať napríklad ako
$\mathfrak c+\mathfrak c = 2^{\aleph_0}+2^{\aleph_0} = 2\cdot 2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0+1} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak c$.