Inklúzie a prienik

[Martin Sleziak]

Nech $J\ne\emptyset$ a pre každé $j\in J$ je $A_j$ množina. Dokážte, že ak $I\supseteq J$, tak $\bigcap\limits_{i\in I} A_i \subseteq \bigcap\limits_{j\in J} A_j$.

Myslím si, že oveľa jednoduchšie bolo zapísať riešenie slovne, než snažiť sa to za každú cenu zapísať ako výrok s kvantifikátormi.

Možno sa oplatí spomenúť aj to, že $\bigcap\limits_{j\in J} A_j = \bigcap\limits_{i\in J} A_i$ sú len dva rôzne zápisy toho istého. (Iba sme inak označili premennú, ktorá označuje ľubovoľný prvok množiny $J$. Podobne ako ste napríklad zvyknutí, že na označení premennej nezávisí pri sčitovaní, napríklad $\sum\limits_{i=1}^n i^2= \sum\limits_{k=1}^n k^2$. Podľa písomiek sa zdá, že toto niektorým z vás robilo problémy.)

Toto bola jedna z úloh, ktorú sme robili na "opakovacom cviku". Intuícia prečo to funguje je veľmi jednoduchá: Keď pridám viac množín, tak prienik sa zmenšuje.

Riešenie. Nech $x$ je ľubovoľný prvok taký, že $x\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i$. Teda pre každé $i\in I$ platí $x\in A_i$. Pretože $J\subseteq I$, dostávame že $x\in A_i$ platí pre každé $i\in J$. To znamená, že $x\in \bigcap\limits_{i\in J} A_i$.
Ukázali sme, že z $x\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i$ vyplýva $x\in \bigcap\limits_{i\in J} A_i$, čím je overená inklúzia
$$\bigcap\limits_{i\in I} A_i \subseteq \bigcap\limits_{i\in J} A_i.$$

Môžeme sa však pokúsiť napísať aj nejaké riešenie pomocou kvantifikátorov (pretože mnohí ste to skúšali takto).

Riešenie. Vieme, že $I\subseteq J$, teda $i\in I \Rightarrow i\in J$.
Chceme overiť, či platí $\bigcap\limits_{i\in I} A_i \subseteq \bigcap\limits_{i\in J} A_i$, teda sa vlastne pýtame na to, či pre ľubovoľné $x$ platí implikácia
$$(\forall i\in I) x\in A_i \Rightarrow (\forall i\in J) x\in A_i.$$
Prepíšme túto implikáciu ako
$$(\forall i) (i\in I \Rightarrow x\in A_i) \Rightarrow (\forall i) (i\in J \Rightarrow x\in A_i).$$
Môžeme to teda zhrnúť tak, že sa pýtame, či platí
$$(\forall i) (i\in J \Rightarrow i\in I) \Rightarrow
[(\forall i) (i\in I \Rightarrow x\in A_i) \Rightarrow (\forall i) (i\in J \Rightarrow x\in A_i)].$$
Ak označíme $P(i)\equiv i\in I$, $Q(i)\equiv (i\in J)$ a $R(i) \equiv x\in A_i$. Teda sa vlastne pýtame, či
$$[(\forall i)(Q(i)\Rightarrow P(i))] \Rightarrow [(\forall i)(P(i)\Rightarrow R(i)) \Rightarrow (\forall i)(Q(i)\Rightarrow R(i))].$$
Ak si ešte uvedomíme, že $[(a\Rightarrow b) \Rightarrow (b\Rightarrow c)] \Leftrightarrow [(a\land b)\Rightarrow c]$ je tautológia, tak uvedený výrok môžeme ekvivalentne prepísať ako
$$[(\forall i)Q(i)(\Rightarrow P(i)) \land (\forall i)(P(i)\Rightarrow R(i))] \Rightarrow (\forall i)(Q(i)\Rightarrow R(i)).$$
V takejto podobe je azda jednoduchšie si uvedomiť, že takéto tvrdenie skutočne platí. $\square$

Ešte drobná poznámka k tomuto riešeniu: Chceli sme overiť, či daná implikácia platí pre každé $x$. Čiže keby sme veľmi presne chceli prepisovať definíciu, tak na viacerých miestach by ešte malo byť napísané $(\forall x)$. Azda takýto prístup - že sme pracovali s jedným konkrétnym $x$ a potom sme si uvedomili, že sme to vlastne overili pre ľubovoľné $x$ - dokazovaný výrok aspoň trochu zjednodušil a sprehľadnil.

[Martin Sleziak]

Poznámky k riešeniam a chyby ktoré sa vyskytovali

Znovu platí to, čo som spomínal už viackrát - logické spojky môžem písať medzi výroky, inklúziu alebo množinové operácie medzi množiny.
viewtopic.php?t=309
viewtopic.php?t=98
T.j .napríklad nemajú zmysel zapisy ako

$(\forall i\in I) x\in A_i\subseteq (\forall j\in J)x\in A_j$

Niektoré veci, ktoré sa vyskytli v písomkách a neplatia alebo sú problematické.

Z predpokladu $I\supseteq J$ máme $x\in A_i \Rightarrow x\in A_j$.

Toto určite nemusí byť pravda pre ľubovoľné $i\in I$, $j\in J$. (Predpoklad $I\supseteq J$ nám nehovorí nič o vzťahu medzi množinami, z ktorých robíme prienik. Hovorí nám o tom, že každá z množín ktoré sa vyskytnú v prieniku $\bigcap\limits_{i\in I} A_i$ je súčasne s jednou množín v druhom prieniku $\bigcap\limits_{j\in J} A_j$.)

$\bigcap\limits_{i\in I} A_i \subseteq \bigcap\limits_{j\in J} A_j \Leftrightarrow (\forall x)(x\in A_i \Rightarrow x\in A_j)$

Že niečo takéto nedáva zmysel vidno už z toho, že na pravej strane nijako nevystupujú množiny $I$ a $J$.

Systém množín $A_i$ súvisí s množinou $I$, teda $I\subseteq \bigcap\limits_{i\in I} A_i$.

Toto nie je pravda, konkrétny kontrapríklad: Zoberme si $I=\{0,1,2,\dots\}$ a $A_i=(i,i+1)$. Potom je prienik očividne prázdna množina, a teda neobsahuje $I$.