Exercise 9.7

[Martin Sleziak]

Z tohoto cvičenia som robil na seminári časť (d) a odflákol som to či je to naozaj reprezentácia aj to, či je verná. Tak to sem skúsim napísať poriadnejšie a niečo napísať aj k ostatných častiam.

Exercise 9.7: Which of the following groups have a faithful irreducible representation?
(a) $C_n$ ($n$ a positive integer);
(b) $D_8$;
(c) $C_2 \times D_8$;
(d) $C_3 \times D_8$.

Pripomeňme, že $D_8=\langle a,b; a^4=b^2=1, b^{-1}ab=a^{-1}\rangle$.

Podľa Proposition 9.16 je nutnou podmienkou to, aby centrum grupy $Z(G)$ bola cyklická grupa. Máme $Z(C_n)=C_n$, teda v (a) je nutná podmienka splnená. Ďalej máme $Z(D_8)=\{1,a^2\}\cong C_2$, čiže nutná podmienka je splnená aj v (b). Pre (c) a (d) máme $Z(C_2\times D_8) \cong C_2\times C_2$ a $Z(C_2\times D_8) \cong C_3\times C_2$; čiže v (c) nemáme cyklické centrum, zatiaľčo v (d) máme cyklické centrum.

Zatiaľ sme teda na základe nutnej podmienky vylúčili (c).

V (a) vieme nájsť ireducibilnú vernú reprezentáciu tak, že pošleme generátor na ľubovoľnú primitívnu $n$-tú odmocninu z 1.

Verná ireducibilná reprezentácia $D_8$

Pre $D_8$ máme napríklad reprezentáciu
$A=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}$
$B=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
$
Túto reprezentáciu sme už videli aj v Example 3.2.

Je to reprezentácia.Pretože charakteristické polynómy sú $\chi_A(x)=x^2+1$ a $\chi_B(x)=x^2-1$, vidíme z Cayley-Hamiltonovej vety, že $A^2=-I$, čiže $A^4=I$; a tiež $B^2=I$, čo znamená, že $B=B^{-1}$.

Zostáva už len overiť, že $B^{-1}AB=A^{-1}$, čiže $BAB=-A$. To je pomerne jednoduchý výpočet s maticami - stačí si uvedomiť, že vynásobenie maticou $B$ zľava aj sprava najprv vymení riadky a potom stĺpce; keď sa pozrieme na to ako vyzerá matica $A$, tak takto skutočne dostaneme $-A$.

Skontrolovali sme teda, že je to skutočne reprezentácia.

Vernosť.Aby sme videli, že je verná treba sa pozrieť na to, či matice $A^iB^j$ pre $i\in\{0,1,2,3\}$, $j\in\{0,1\}$ dajú jednotkovú maticu iba v prípade $i=j=0$. Vidíme, že $A$, $A^2=-I$ ani $A^3=-A$ sa nerovná jednotkovej matici. Ďalej $BA^2=-B$ nie je jednotková a matice $BA$ a $BA^3$ vzniknú z $A$ a $A^3$ výmenou riadkov, sú to teda diagonálne matice, ktoré majú na diagonále raz $1$ a raz $-1$. Teda naozaj nikdy nám nevyšla jednotková matica. (Tabuľka, kde sú vypočítané všetky tieto matice je aj v Example 3.2.)

Ireducibilita. Jedna z matíc je diagonálna s rôznymi vlastnými hodnotami na diagonále. Teda jediné vlastné vektory sú násobky $(1,0)$ a $(0,1)$.
Žiaden z nich nie je vlastný vektor matice $B$. Takže neexistuje jednorozmerný $FG$-podmodul.

Verná ireducibilná reprezentácia $C_3\times D_8$

Grupu $G=C_3\times D_8$ môžeme zapísať ako $\langle a,b; a^4=b^2=1, b^{-1}ab=a^{-1}, c^3=1, ac=ca, bc=cb\rangle$.

Ak by sme chceli reprezentáciu pre túto grupu dostať tak, že pridáme nejakú ďalšiu maticu $C$ k maticiam $A$ a $B$, ktoré sme zvolili predtým, tak to musí byť matica, ktorá komutuje s $A$ aj s $B$. Pretože $A$, $B$ dávajú ireducibilnú reprezentáciu, $C$ musí byť tvaru $\lambda I$ podľa Corollary 9.3. Pretože $C^3=I$, jediné možnosti pre $\lambda$ sú $1,\omega,\omega^2$, kde $\omega=e^{i2\pi/3}$. Možnosť $\lambda=1$ nám nevyhovuje lebo by sme nedostali vernú reprezentáciu. Skúsme teda
$A=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}$
$B=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
$
$C=\omega I$.

Je to reprezentácia. Už sme skontrolovali, že pre matice $A$, $B$ platia potrebné identity. Pretože $C$ je násobok $I$, komutuje s ľubovoľnou maticou. A očividne platí aj $C^3=\omega^3I=I$.

Ireducibilita. Ireducibilná je už reprezentácia určená maticami $A$ a $B$. Pridanie ďalšej matice túto podmienku pokaziť nemôže.

Vernosť. Podobne ako minule, len si treba uvedomiť, že ani $\omega$-násobok žiadnej z uvedených matíc nie je $I$.

*******************

Iná možnosť na overenie vernosti

Ak reprezentácia nie je verná, je to verná reprezentácia pre faktorovú grupu podľa nejakej netriviálnej normálnej podgrupy.

Spoiler:

Toto je vlastne iba veta o faktorovom izomorfizme: Ak máme reprezentáciu $\varrho \colon G \to \operatorname{GL}(n,\mathbb F)$, tak potom máme izomorfizmus medzi $G/\operatorname{Ker}\varrho$ a $\operatorname{Im}\varrho$; toto už bude verná reprezentácia.

Ak pre naše grupy vieme zdôvodniť, že všetky faktorové grupy (podľa netriviálnej normálnej podgrupy) sú komutatívne, tak ide o vernú reprezentáciu.

Normálne podgrupy $D_8$

Faktorové grupy $D_8$ sú komutatívne: majú veľkosť najviac 4; ProofWiki.

Normálne podgrupy $C_3\times D_8$

Nevedel som vymyslieť jednoduchší argument než ukázať, že podgrupy tejto grupy sú práve tvaru $\{0\}\times H$ a $C_3\times H$? Potom faktorové grupy budú tvaru $K$ a $C_3\times K$, kde $K\cong D_8/H$ je nejaká faktorová grupa grupy $D_8$.

Spoiler:

Nech $H$ je podgrupa $G$ a obsahuje nejaký prvok tvaru $xc$. Označme ako $r$ rád prvku $x$. Pretože $r\mid 8$, máme $\gcd(r,3)=1$. Teda $ar+3b=1$ pre nejaké $a,b\in\mathbb Z$. Potom $H$ obsahuje prvky $(xc)^{3b}=x^{1-ar}c^{3b}=x$ aj $(xc)^{ar}=x^{ar}c^{1-3b}=c$, teda obsahuje $x$, $cx$ aj $c^2x$, čiže celú množinu $C_3\times\{x\}$.

**********************

Otázka

Existuje ireducibilná verná reprezentácia grupy $C_3\times D_8$ stupňa 3 (alebo hocijakého iného stupňa ako 2)?