Prednášky LS 2016/17

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška (23.2.):
Asymptotická hustota. Definícia, základné vlastnosti, rôzne vyjadrenia asymptotickej hustoty. Príklad množiny, ktorá nemá asymptotickú hustotu.

[Martin Sleziak]

2. prednáška (2.3.):
Asymptotická hustota. Ak konverguje rad prevrátených hodnôt $\sum\limits_{a\in A} \frac1a$, tak $d(A)=0$.
Ukázali sme vetu hovoriacu, že z $d(A_p)=0$ pre všetky prvočísla vyplýva $d(A)=0$.

[Martin Sleziak]

3. prednáška (9.3)
Asymptotická hustota.
Ukázali sme nejaké dôsledky vety z minula - konkrétne to, že množina čísel, ktoré majú najviac $k$ prvočíselných deliteľov, má hustotu 0. Takisto množina funkčných hodnôt Eulerovej funkcie má hustotu nula.
Z tohoto výsledku vlastne vyplýva, že existuje $n$ také, že $\varphi(x)=n$ nemá riešenie. Wikipédia: Nontotient.
Dokázali sme to však bez toho, že by sme nejaké konkrétne $n$ s touto vlastnosťou našli. V súvislosti s týmto som potom chvíľu hovoril niečo o existenčných dôkazoch (najmä založených na kardinalite): viewtopic.php?f=39&t=856
(Na konci prednášky som ešte tak stručne a narýchlo povedal o tom, ako by sa dal ukázať podobný výsledok pre funkciu $\sigma$.)
Ukázali sme $\limsup \varphi(n)/n=1$ a $\liminf \varphi(n)/n=0$. Limes inferior sa potom dalo použiť na jednoduchší dôkaz $d(\mathbb P)=0$.

[Martin Sleziak]

4. prednáška (16.3)
Logaritmická hustota. Definícia a základné vlastnosti. Ukázali sme si vzťah medzi logaritmickou a asymptotickou hustotou. Ukázali sme príklad množiny, ktorá má logaritmickú hustotu, ale nemá asymptotickú hustotu.
Ako pomocné tvrdenie na výpočty v tomto príklade sme odvodili Stolzovu-Cesarovu vetu. Táto veta sa do istej miery podobá na L'Hospitalovo pravidlo.
Nejaké príklady, v ktorých sa dá použiť táto veta, sú aj v poznámkach. Ale viac (a zaujímavejších) príkladov, kde sa dá táto veta použiť nájdete na linkách uvedených tu. Spomenuli sme, že Stolz-Cesarova veta vyzerá v podstate ako "L'Hospital pre postupnosti". Nejaké ďalšie diskrétne analógie výsledkov pre intergrál/deriváciu nájdete tu.

(Preskočil som časť o Schnireľmannovej hustote. Vrátim sa k nej neskôr, keď sa budeme zaoberať aditívnymi vlastnosťami podmnožín $\mathbb N$.)

[Martin Sleziak]

5. prednáška (23.3.)
Štatistická konvergencia. Definícia. Vzťah štatistickej konvergencie a konvergencie postupnosti aritmetických priemerov. Abel-Pringsheim-Olivierova veta a jej zovšeobecnenie pre štatistickú konvergenciu.
Ukázali sme aj to, že postupnosť konverguje štatisticky práve vtedy, keď existuje množina hustoty 1, pre ktorú konverguje príslušná podpostupnosť. Dôkaz tejto vety nie je v poznámkach - ak by si ho niekto chcel pozrieť; tak sa dá nájsť napríklad tu: http://dml.cz/dmlcz/136236

[Martin Sleziak]

6. prednáška (30.3.)
Pytagorovské trojice. Ukázali sme, ako vyzerajú všetky riešenia rovnice $x^2+y^2=z^2$ v prirodzených číslach.
Lineárne diofantické rovnice. Pripomenuli sme si, ako sa riešia lineárne kongruencie a ukázali, že rovnakým spôsobom vieme riešiť lineárne diofantické rovnice tvaru $ax+by=c$.
Rovnica $x^4+y^4=z^4$. Dokázali sme neexistenciu riešení rovníc $x^4+y^4=z^2$ v prirodzených číslach.
Základná idea dôkazu bola nekonečná regresia - pre každé riešenie sme vedeli nájsť riešenie v $\mathbb N$, ktoré bolo v nejakom zmysle menšie.

[Martin Sleziak]

7. prednáška (6.4.)
Deliteľnosť v oboroch integrity a euklidovské okruhy. Z tejto časti som len zadefinoval základné pojmy (deliteľnosť, asociovanosť, delitele jednotky, najväčší spoločný deliteľ). Definoval som euklidovský okruh a okruh s jednoznačným rozkladom. fakt, že každý euklidovský okruh je okruhom s jednoznačným rozkladom som len povedal bez dôkazu. (Sú to vlastne veci, ktoré ste už predtým videli na Algebre 2.)
Okruhy $\mathbb Z\left[i\right]$ a $\mathbb Z[\omega]$. O týchto okruhoch sme dokázali, že sú to Euklidovské okruhy. Ukázali sme si, ako vyzerajú delitele jednotky v týchto okruhoch.
Okruh $\mathbb Z\left[i\right]$ a pytagorovské trojice. Na konci som aspoň narýchlo ukázal, ako sa okruh $\mathbb Z\left[i\right]$ dá použiť na to, aby sme našli primitívne pytagorovské trojice. (Tento dôkaz v poznámkach k prednáške nie je. Dôkaz sa dá nájsť napríklad v knihe Andreescu, Andrica, Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations. A určite aj na mnohých iných miestach.)

[Martin Sleziak]

8. prednáška (20.4.)

Dôkaz neexistencie netriviálnych riešení rovnice $x^3+y^3=z^3$.

Koho by zaujímal dôkaz elementárnejšími metódami (bez využitia okruhu $\mathbb Z[\omega]$, tak je naznačený na Wikipédii, kde sa dajú nájsť aj odkazy na literatúru. (Je detailne spravený napríklad v Ribenboimovej knihe.)

Podobne okruh $\mathbb Z\left[i\right]$ sa dá použiť na nájdenie všetkých riešení rovnice $x^2+y^2=z^2$. Dôkaz sa dá nájsť napríklad v knihe Andreescu, Andrica: An Introduction to Diophantine Equations.

(Obe spomínané knihy môžem v prípade záujmu poskytnúť.)

[Martin Sleziak]

9. prednáška (27.4.)
Dokončili sme ešte dôkaz z minula o riešeniach rovnice $x^3+y^3=z^3$.
Schnireľmannova hustota. Definícia a základné vlastnosti. Ukázali sme si dva odhady pre $\sigma(A+B)$ (Schnireľmannova vetu a Mannovu vetu; druhú z nich len bez dôkazu.)
Aditívne bázy. Ukázali sme, že ak $\sigma(A)>0$, tak $A$ je aditívna báza množiny $\mathbb N$.