Riešenie cez vlastné hodnoty
Pozrime sa ešte na iný pohľad na túto istú úlohu. (Ktorý vedie k veľmi podobnému riešeniu, aj keď s trochu iným zdôvodnením.)
Označme
$$A=\begin{pmatrix}
2 & 2 &-4 \\
2 & 2 & 4 \\
-4 & 4 &-4
\end{pmatrix}.$$
Našu úlohu môžeme preformulovať tak, že sa pýtame, kedy je matica $A-aI$ kladne definitná.
- Symetrická matica je kladne definitná práve vtedy, keď má kladné vlastné hodnoty. (Ak vlastné hodnoty symetrickej matice označíme $d_1$, $d_2$, $d_3$, tak o nej vieme, že je ortogonálne podobná s diagonálnou maticou $\operatorname{diag}(d_1,d_2,d_3)$. Diagonálna matica je kladne definitná práve vtedy, keď hodnoty na diagonále sú kladné.)
- Ak poznáme vlastné hodnoty $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$ matice $A$, tak vlastné hodnoty matice $A-aI$ sú $\lambda_1-a$, $\lambda_2-a$, $\lambda_3-a$. (Toto je pomerne ľahké dokázať - pridal som to aj medzi úlohy, ktoré môžete riešiť na fóre.)
Vieme vypočítať vlastné hodnoty matice $A$, sú to $4$, $4$, $-8$. (Môžete aj skontrolovať, že $(1,1,0)$ a $(-2,0,1)$ sú vlastné vektory k vlastnému číslu $4$, pre vlastné číslo $-8$ máme vlastný vektor $(1,-1,2)$.)
Vlastné hodnoty matice $A-aI$ sú potom $4-a$, $4-a$, $-8-a$.
Ak majú byť všetky vlastné hodnoty kladné, tak musí platiť $-8-a>0$, t.j. $a<-8$.
Táto úvaha nám nijako výrazne nezjednodušila výpočty. (Vlastné čísla nájdeme ako korene charakteristického polynómu, ten nájdeme rátaním toho istého determinantu ako v predošlom postupe. Nanajvýš sme si teda ušetrili počítanie dvoch menších determinantov.) Ale je to aspoň trochu iný pohľad na ten istý problém.