Matice so spoločnou bázou vlastných vektorov komutujú

[Martin Sleziak]

Nech $\vec b_1, \vec b_2, \dots, \vec b_n$ je báza priestoru $\mathbb C^n$ taká, že každý z~týchto vektorov je súčasne vlastným vektorom matice $A$ a vlastným vektorom matice $B$. (Zodpovedajúce vlastné čísla môžu byť rôzne.) Dokážte, že potom platí $AB=BA$.
(Snažte sa dôkaz napísať tak, aby bolo jasné, kde ste použili predpoklad o existencii bázy pozostávajúcej zo spoločných vlastných vektorov. Keďže pre ľubovoľné matice nemusí platiť $AB=BA$, tak v~dôkaze určite niekde treba využiť dodatočnú informáciu, ktorú o týchto maticiach máme.)

$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

Maticiam spĺňajúcim takéto podmienky sa hovorí tiež simultaneously diagonalisable matrices.

Cez podobnosť s diagonálnou
Pretože pre maticu $A$ existuje báza z vlastných vektorov, vieme že je podobná s diagonálnou. To isté platí pre maticu $B$.
Navyše ak vlastné vektory poukladáme ako riadky do matice $P$, tak platí
$$A=PD_A\inv P\text{ a }B=PD_B\inv P.$$
Dôležité je to, že v oboch prípadoch tam vystupuje tá istá matica $P$.
Potom máme
$$AB=(PD_A\inv P)(PD_B\inv P)=P(D_AD_B)\inv P = (PD_B\inv P)(PD_A\inv P)=BA$$
Využili sme to, že ľubovoľné dve diagonálne matice komutujú - stačí si všimnúť, že $$\operatorname{diag}(d_1,d_2,\dots,d_n)\operatorname{diag}(d'_1,d'_2,\dots,d'_n)=
\operatorname{diag}(d_1d'_1,d_2d'_2,\dots,d_nd'_n)=
\operatorname{diag}(d'_1,d'_2,\dots,d'_n)\operatorname{diag}(d_1,d_2,\dots,d_n)$$

Zobrazenie vzhľadom na danú bázu
Toto je do istej miery skoro to isté riešenie ale z trochu iného pohľadu.
Ak sa pozrieme na zobrazenie $f_A\colon x\mapsto xA$, tak vieme, že bázové vektory sa zobrazia ako $f_A(\vec b_i)=\lambda_i \vec b_i$.
Podobne vieme, že $f_B(\vec b_i)=\mu_i \vec b_i$ platí pre zobrazenie prislúchajúce matici $B$.
(Pričom $\lambda_i$ a $\mu_i$ som označil príslušné vlastné čísla.)
Ak tieto dve zobrazenia zložíme v ľubovoľnom poradí tak dostaneme to isté - stačí skontrolovať, že sa rovnako správajú na bázových vektoroch:
\begin{gather*}
f_B(f_A(\vec b_i))=f_B(\lambda_i\vec b_i)=\lambda_i f_B(\vec b_i) = \lambda_i\mu_i\vec b_i\\
f_A(f_B(\vec b_i))=f_B(\mu_i\vec b_i)=\mu_i f_B(\vec b_i) = \mu_i\lambda_i\vec b_i
\end{gather*}
Pretože zobrazenia $f_A\circ f_B$ a $f_B\circ f_A$ sa rovnajú, musia mať aj rovnaké matice.
Z toho dostávame, že $BA=AB$.

[Martin Sleziak]

Komentáre k riešeniam z písomiek, chyby ktoré sa vyskytovali

Asi by som mal hlavne zopakovať to čo som napísal v zadaní - skúste sa pozrieť na svoje riešenie a rozmyslieť si, či ste niekde skutočne využili predpoklady. (Ak to vyzerá tak, že by ste rovnakým argumentom dokázali, že ľubovoľné matice komutujú alebo že ľubovoľné diagonalizovateľné matice komutujú, tak niekde bude chyba.)

V jednej písomke sa vyskytlo tvrdenie, že zo zadaných podmienok vyplýva, že $A$ aj $B$ sú podobné s tou istou diagonálnou maticou. To nemusí byť pravda. (Kontrapríklad je jednoduchý - zoberte si nejaké dve rôzne diagonálne matice.)

Niektorí z vás správne prišli na to, že $A$ aj $B$ diagonalizovateľné. A tvrdili ste, že z toho už vyplýva, že $AB=BA$.
Nie všetky diagonalizovateľné matice musia komutovať. Jednoduchý kontrapríklad je
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
V dôkaze tvrdenia zo zadania treba skutočne využiť nie iba to, že obe matice sú podobné s diagonálnou, ale nejako treba použiť aj to, že majú spoločnú bázu z vlastných vektorov.