Sem som napísal aspoň stručne riešenie príkladu z dnešnej opravnej písomky sčasti preto, aby si ľudia čo boli na písomke mohli pozrieť v čom spravili chyby. A sčasti aj pre ostatných, nech majú viacero takýchto príkladov - aby si mohli porovnať rôzne postupy výpočty. (A tiež zvážiť, ktoré z nich sú viac a ktoré menej efektívne.)
Body zo zadania budem označovať $A=(1,1,2,0)$ a $B=(1,-1,0,0)$.Nájdite vzdialenosť priamky $p=(1,1,2,0)+[(1,-2,2,0)]$ a roviny $\alpha=(1,-1,0,0)+[(1,-1,0,1),(0,1,-2,0)]$.
Ortogonálny doplnok
Poďme najskôr vypočítať $V^\bot$ pre $V=V_p+V_\alpha=[(1,-2,2,0),(1,-1,0,1),(0,1,-2,0)]$. Mať k dispozícii tento výsledok sa nám bude hodiť pri viacerých možnostiach ako počítať vzdialenosť.
Štandardným výpočtom zistíme, že $V^\bot=(2,2,1,0)$.
Spoiler:
Chceme nadrovinu obsahujúcu $\alpha$ a rovnobežnú s $p$. Už poznáme normálový vektor: $(2,2,1,0)$.
Pomocná nadrovina určená bodom $(1,-1,0,0)$ je $2x_1+2x_2+x_3=0$.
Teraz sme previedli úlohu na hľadanie vzdialenosti medzi rovnobežnými podpriestormi. Navyše jeden z nich je nadrovina, takže máme k dispozícii priamo vzorec. Stačí teda vyrátať vzdialenosť ľubovoľného bodu priamky od pomocnej nadroviny.
Vzdialenosť je $$\frac{|2\cdot1+2\cdot1+2|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}= \frac63=2.$$
Priemet do $V^\bot$.
Hľadáme priemet vektora $\overrightarrow{BA}=(0,2,2,0)$ do $V^\bot$.
Pretože ide o priemet do jednorozmerného podpriestoru, vieme ho vypočítať ľahko.
Máme $V^\bot=[(2,2,1,0)]$, čiže jednotkový vektor v~smere $V^\bot$ je $\vec u=\frac13(2,2,1,0)$.
Priemet je potom $\overrightarrow{BA}\vec u^T\vec u = \frac19 (0,2,2,0) \begin{pmatrix}2\\2\\1\\0\end{pmatrix} (2,2,1,0) = \frac69(2,2,1,0) = \frac23(2,2,1,0)$ a jeho dĺžka je $2$.
Kolmý priemet resp. stredná priečka.
Kolmý priemet môžeme nájsť aj tak, že sa vektor $\overrightarrow{AB}$ snažíme dostať ako lineárnu kombináciu vektorov generujúcich $V$ a vektora generujúceho $V^\bot$.
$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 &-1 & 0 & 2 & 0 \\
-2 & 1 &-1 & 2 &-2 \\
2 & 0 & 2 & 1 &-2 \\
0 &-1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
-2 & 0 &-1 & 2 &-2 \\
2 & 0 & 2 & 1 &-2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 &-1 & 6 &-2 \\
0 & 0 & 2 &-3 &-2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 &-1 & 6 &-2 \\
0 & 0 & 2 &-3 &-2 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 &-6 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 9 &-6 \\
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac43 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 &-2 \\
0 & 0 & 0 & 1 &-\frac23 \\
\end{array}\right)
$
Z riešení predošlej sústavy vieme vypočítať priemet do $V^\bot$ ale aj strednú priečku.
Dostávame body $X=(1,1,2,0)+\frac43(1,-2,2,0)=(\frac73,-\frac53,\frac{14}3,0)$ a $Y=(1,-1,0,0)-2(0,1,-2,0)=(1,-3,4,0)$.
Pre tieto body platí $X\in p$, $Y\in\alpha$ a vektor $\overrightarrow{XY}=(-\frac43,-\frac43,-\frac23,0)$ je kolmý na $p$ aj na $\alpha$, čiže $XY$ je stredná priečka.
Vzdialenosť je $|XY|=2$.