Prednášky LS 2012/13

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorý z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška (11.2):
Euklidovský vektorový priestor. Definícia vektorového súčinu, príklady, základné vlastnosti. Definícia veľkosti vektora a jej vlastnosti. Kolmé vektory, ortogonálny doplnok - definícia, ukázali sme, že ortogonálny doplnok ľubovoľnej množiny je podpriestorom.

[Martin Sleziak]

2. prednáška (18.2.)
Ortogonálny doplnok: Základné vlastnosti ortognálneho doplnku. Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces a existencia ortonormálnej bázy. Dôsledky pre ortogonálny doplnok v konečnorozmerných priestoroch. (V podstate sme dokončili kapitolu s výnimkou príkladu, ktorý ukazuje, že niektoré veci nemusia fungovať v nekonečnorozmerných priestoroch.)

[Martin Sleziak]

3. a 4. prednáška (25.2. a 4.3.): Kanonický tvar a zákon zotrvačnosti.

[Martin Sleziak]

5. prednáška (11.3.):
Matica prechodu. Definícia, matica prechodu opačným smerom, ako sa menia súradnice pri prechode k novej báze.
Matica zobrazenia pri danej báze. Definícia. Súradnice obrazu vektora. Ako vyzerá matica zobrazenia pri prechode k novej báze. Definícia podobnosti matíc.

[Martin Sleziak]

6. prenáška (18.3.)
Podobnosť s diagonálnou maticou. Vlastné čísla, vlastné vektory, charakterizácia matíc podobných s diagonálnou cez vlastné vektory.
Vlastné vektory prislúchajúce rôznym vlastným hodnotám sú lineárne nezávislé.
Ukázali sme, že podobné matice majú rovnaký charakteristický polynóm a tiež niekoľko dôsledkov, ktoré z toho vyplývajú.

[Martin Sleziak]

7. prednáška (25.3.)
Ortogonálna podobnosť. Schurova veta. Symetrická matica je ortogonálne podobná s diagonálnou maticou. Vlastné vektory zodpovedajúce rôznym vlastným číslam symetrickej matice sú na seba kolmé.
Cayley-Hamiltonova veta.

[Martin Sleziak]

8. prednáška (8.4):
Krivky druhého rádu. Popis ortogonálnych matíc $2\times2$. Typy kriviek druhého rádu v závislosti od vlastných hodnôt. Invarianty kriviek druhého rádu (a ich vzťah k typu krivky). Dôkaz, že tieto krivky dostaneme ako prienik kužeľa a roviny.
V časti, kde sme sa zaoberali tým, aký typ krivky dostaneme v závislosti od vzájomnej polohy kužeľa a roviny, sa v dôkaze vyskytla medzera, ktorú som nevedel opraviť hneď počas prednášky. Skúsil som to opraviť tu, snáď teraz som sa už nepomýlil.

[Martin Sleziak]

9. prednáška (15.4): Jordanov tvar.

22.4. prednáška nebola - písali sme písomku a potom rátali príklady na Jordanov tvar.

10. prednáška (29.4): Matice a lineárne rekurencie (špeciálne Fibonacciho postupnosť).

[Martin Sleziak]

11. prednáška (6.5.):
Symetrické polynómy. Základná veta o symetrických polynómoch. Vietove vzťahy.