Zjednotenie podgrúp

[Martin Sleziak]

Prémiová úloha vyzerala v oboch skupinách takto:

Nech $G$ je grupa a $H_1$, $H_2$ sú jej podgrupy. Dokážte, že $H_1\cup H_2$ je podgrupa práve vtedy, keď $H_1\subseteq H_2$ alebo $H_2\subseteq H_1$.

Skúsim tu riešenie naznačiť - celé rišenie je skryté. (Ak chcete o probléme ešte rozmýšľať sami, nech nemáte prezradené celé riešenie.)

Jeden smer by mal byť ľahký, ak jedna z podgrúp je podmnožinou druhej, tak aj zjednotenie je podgrupa.

Hint:

Spoiler:

Čomu sa rovná $H_1\cup H_2$?

Riešenie:

Spoiler:

Ak $H_1\subseteq H_2$, tak $H_1\cup H_2=H_2$. Máme zadané, že $H_2$ je podgrupa.

Podobne ak $H_2\subseteq H_1$, tak $H_1\cup H_2=H_1$, čiže aj v tomto prípade je to podgrupa.

Zaujímavejší je opačný smer. Oplatí sa to vyskúšať sporom.
T.j. predpokladáme, že $H_1\setminus H_2\ne\emptyset$ a súčasne $H_2\setminus H_1 \ne\emptyset$. (Rozmyslite si, že toto naozaj dostaneme z negácie predpokladov o inklúziách medzi $H_1$ a $H_2$.)

Vieme teda, že existuje nejaký prvok $a \in H_1 \setminus H_2$. A tiež že existuje nejaký prvok $b\in H_2 \setminus H_1$.
Vedeli by ste nejako pomocou prvkov $a$, $b$ dospieť k sporu?

Hint:

Spoiler:

Čo viete povedať o prvku $a*b$?

Hint 2:

Spoiler:

Pretože $a,b\in H_1\cup H_2$ a $H_1\cup H_2$ je podgrupa, máme aj $a*b\in H_1\cup H_2$.

Čo z toho vyplýva pre prvky $a$, $b$?

Obrázková pomôcka:

Spoiler:

Skúste si to nakresliť pre $G=(\mathbb R^2,+)$ a $H_1=\mathbb R\times\{0\}$, $H_2=\{0\}\times\mathbb R$.
Toto sú vlastne vektory v rovine, s nimi viete robiť dobre - skúste sa zamyslieť či viete dostať spor vo tom prípade; a potom si rozmyslieť či sa to dá zovšeobecniť.

Zvyšok riešenia:

Spoiler:

Pretože $a*b\in H_1\cup H_2$, tak platí $a*b\in H_1$ alebo $a*b\in H_2$.

Ak $a*b\in H_1$, tak dostaneme, že aj
$$b=a^{-1}*(a*b) \in H_1$$
čo je spor s predpokladom, že $b\in H_2\setminus H_1$.
(Využili sme, že prvky $a^{-1}$ aj $a*b$ patria do $H_1$.)

Veľmi podobným postupom vieme v prípade, že $a*b\in H_2$, dostať $a\in H_2$; to opäť vedie k sporu.