Prednášky ZS 2017/18

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

[Martin Sleziak]

1. prednáška (29.9)
Veta o delení so zvyškom. Deliteľnosť. Najväčší spoločný deliteľ. Bézoutova identita. (Ako posledné sme stihli dokázať dôsledok 2.1.8. Nerobil som príklad 2.1.7 - k nemu sa vrátim nabudúce.)

[Martin Sleziak]

2. prednáška (6.10.)
Najväčší spoločný deliteľ. Euklidova lema a základné vlastnosti n.s.d. Ukázali sme si nejaké príklady a trochu sme sa pozreli na rozšírený Euklidov algoritmus.
Preskočil som lemu 2.1.13 a dôsledok 2.1.14 - vrátime sa k nim neskôr, keď ich budeme potrebovať použiť. Takisto som nehovoril ani o n.s.n.
Prvočísla. Definícia, základné vlastnosti, základná veta aritmetiky (jednoznačnosť a existencia rozkladu na prvočísla).

[Martin Sleziak]

3. prednáška (13.10.)
Ešte sme sa na chvíľu vrátili k tomu, ako sa z kanonického rozkladu dá vyčítať deliteľnosť, n.s.d., n.s.n.
Rozloženie prvočísel. Ukázali sme, že v množine prvočísel sú ľubovoľne dlhé medzery. Povedali sme si niečo o číslach bez kvadratických deliteľov.
Ukázali sme si dav dôkazy toho, že rad prevrátených hodnôt prvočísel diverguje.
V dôkaze využili to, že rad $\sum\frac1{n^2}$ konverguje. (Čo sa dá ukázať pomerne ľahko.) Ak vás zaujíma dôkaz toho, že presná hodnota tejto sumy je $\pi^2/6$, tak nejaký dôkaz je v texte prednáške (v dodatku) - je to dôkaz pomocou Fourierových radov. V existuje veľa ďalších dôkazov, nejaké odkazy nájdete tu: viewtopic.php?t=65

[Martin Sleziak]

4. prednáška (20.10.)
Prvočíselná funkcia a prvočíselná veta. Sformulovali sme prvočíselnú vetu. Ako príklad jej použitia sme ukázali, že množina $\{p/q; p,q\in\mathbb P\}$ je hustá v $(0,\infty)$. (Nerobil som časť o funkciách $\operatorname{li}(x)$ a $\operatorname{Li}(x)$.)
Prvočíselná funkcia. Začali sme dokazovať Čebyševove nerovnosti. (Už nám chýba iba dokázať druhú z nich a máme už dokázanú lemu, ktorá dáva dolný odhad pre $d_n=[1,2,\dots,n]$.)

[Martin Sleziak]

5. prednáška (27.10.)
Čebyševove nerovnosti. Dokončili sme dôkaz Čebyševových nerovností. (Preskočil som dôkaz odhadu pre $n$-té prvočíslo - k nemu sa vrátim nabudúce. Preskočil som aj časť o Čebyševovej funkcii - tú vynechám; nebudem ju teda samozrejme ani skúšať.)
Bertrandov postulát. Dokázali sme Bertrandov postulát.

[Martin Sleziak]

6. prednáška (3.11.)
Fermatove čísla, Mersennove čísla. Prvočísla špeciálneho tvaru a niektoré otvorené problémy. Povedali sme si niečo Fermatových číslach a Mersennových číslach.. Ako zaujímavosť sme spomenuli aj Gauss-Wantzelovu vetu, ktorá hovorí o skonštruovateľnosti pravidelných $n$-uholníkov pravítkom a kružidlom a súvise s Fermatovými prvočíslami.
Kongruencie. Stihli sme definíciu a základné vlastnosti kongruencií. (V podstate sme prešli časť 3.1.1 z textu.)

[Martin Sleziak]

7. prednáška (10.11.)
Lineárne kongruencie. Veta o tom, kedy existuje riešenie, aký je počet riešení, ako ich nájsť. (Nerobil som ukážku na konkrétnom príklade - keďže Euklidov algoritmus som zopakoval už skôr, keď sme hovorili o Bézoutovej identite.)
Čínska veta o zvyškoch. Urobili sme dva dôkazy čínskej vety o zvyškoch a ukázali sme si aj konkrétny príklad.

Niečo som povedal o pojme kongruencia v trochu inom, ale veľmi príbuznom, zmysle. Konkrétne o kongruenciách v grupách a okruhoch, ktoré úzko súvisia s normálnymi podgrupami a ideálmi. (Máme vlastne 3 rôzne pohľady, ako sa dá pozerať na normálne podgrupy. Okrem definície sa na ne dá pozerať ako na jadrá homomorfizmov a tiež máme jedno-jednoznačnú korešpondenciu medzi grupami a kongruenciami. Podobne je to s ideálmi v okruhoch a okruhovými kongruenciami.)

[Martin Sleziak]

8. prednáška (24.11.):
Aritmetické funkcie. Multiplikatívne a úplne multiplikatívne funkcie - definícia, základné vlastnosti. Ak $f$ je multiplikatívna, tak aj $g(n)=\sum\limits_{d\mid n} f(d)$ je multiplikatívna. (V dôkaze sme využili lemu 2.1.13, ktorú som pri prednášaní prvej kapitoly preskočil. Zdôvodnil som ju iba pomocou kanonického rozkladu - ak niekedy vzýši čas, tak sa vrátim k dôkazu, ktorý sa neopiera o kanonický rozklad.)
Funkcie $d(n)$ a $\sigma(n)$. Vyjadrenie týchto funkcií z kanonického rozkladu. Charakterizácia párnych dokonalých čísel. (Nerobil som časť o nepárnych dokonalých číslach. Takisto ani to, ako sa $d(n)$ a $\sigma(n)$ funkcie správajú pre veľké $n$.)
Eulerova funkcia. Zadefinovali sme Eulerovu funkciu $\varphi(n)$ a dokázali, že je multiplikatívna.

[Martin Sleziak]

9. prednáška (1.12.):
Malá Fermatova veta. Ukázali sme si dôkaz malej Fermatovej vety. (Nerobil som "algebraický" dôkaz, ktorý sme však videli všeobecnejšie pri Eulerovej vete. V poznámkach je ešte jeden kombinatorický dôkaz, ktorý som nerobil.)
Eulerova veta. Urobili sme dva dôkazy Eulerovej vety. (Vynechal som dôkaz opierajúci sa o malú Fermatovu vetu a Čínsku vetu o zvyškoch.)
Ešte Eulerova funkcia. Dokázali sme (dvoma spôsobmi) identitu $n=\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)$.
Lagrangeova veta a Wilsonova veta. Sformulovali sme Lagrangeovu vetu a ukázali, že vlastne vyplýva z toho, čo vieme o počte koreňov polynómov. Ukázali sme Wilsonovu vetu - jeden dôkaz bol založený na Lagrangeovej vete, druhý využíval multiplikatívnu grupu poľa $\mathbb Z_p$.

V podstate sa vám môže oplatiť pozrieť na dôkazy Malej Fermatovej vety (prípadne aj Eulerovej vety), ktoré sme preskočili. Jednak sú celkom pekné. Navyše budete mať výhodu, že ak budem od vás na skúške chcieť dôkaz tejto vety, tak budete poznať viacero možností, ako ich dokazovať.