Prednášky ZS 2017/18

[Martin Sleziak]

10. prednáška (27.11.):
Operácie s maticami. Matice sa dajú sčitovať, násobiť skalárom. $M_{m,n}(F)$ s týmito operáciami tvorí vektorový priestor.
Súčin matíc. Definícia súčinu matíc a súvis so skladaním lineárnych zobrazení. Asociatívnosť a ďalšie vlastnosti (distributívnosť, násobenie jednotkovou maticou). Vyjadrenie lineárneho zobrazenia ako $f(\vec\alpha)=\vec\alpha A_f$.
Na konci sme si ešte povedali o tom, že na súčin matíc sa dá pozerať aj takto: V matici $AB$ budú lineárne kombinácie riadkov matice $B$. Matica $A$ nám vlastne hovorí, aké koeficienty mám použiť v týchto lineárnych kombináciách.
(V texte je aj vyriešený príklad na nájdenie matice lineárneho zobrazenia - úloha 5.3.1. Na prednáške sme taký príklad nerobili, budeme takéto niečo robiť na cvičení.)
Inverzná matica. inverzné zobrazenie k lineárnemu zobrazeniu je tiež lineárne.

Ako jeden z príkladov sme videli zloženie dvoch rotácií. Pri tom nám vlastne vyšli súčtové vzorce pre kosínus a sínus.
Niečo podobné sme videli už predtým pri komplexných číslach.
Nie je to náhoda - v skutočnosti sa komplexné čísla dajú zaviesť ako matice: viewtopic.php?t=571

[Martin Sleziak]

11. prednáška (4.12.):
Inverzná matica. Podmienky, kedy je lineárne zobrazenie injektívne, surjektívne, bijektívne. Definícia inverznej matice. K matici A existuje inverzná práve vtedy, keď A je regulárna matica.
Izomorfizmus vektorových priestorov. Zadefinovali sme pojem izomorfizmu vektorových priestorov a ukázali sme, že každý konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom $F$ je izomorfný s $F^n$ pre nejaké $n$.
Sústavy lineárnych rovníc. Zadefinovali sme základné pojmy a ukázali si maticový zápis sústavy. Množina riešení sa nemení pri elementárnych riadkových operáciách. (Dôkaz som iba naznačil. Na konci som sa ešte vrátil k tejto vete a ukázal som ešte jeden dôkaz založený na vzťahu riadkových operácií a násobenia matíc.)
Množina riešení homogénnej sústavy tvorí podpriestor. Zatiaľ som iba povedal, že dimenzia tohoto podpriestoru je rovná $n-h(A)$; dôkaz bude nabudúce.

Chvíľu som hovoril niečo o tom, že izomorfizmus vlastne hovorí o tom, že dva vektorové priestory sú "v podstate rovnaké".
Niečo podobné si môžete prečítať tu: viewtopic.php?t=495
(Izomorfizmus sme pre grupy nedefinovali; ale princíp je podobný.)

[Martin Sleziak]

12. prednáška (11.12.):
Homogénne sústavy. Ukázali sme si, ako vyzerá báza priestoru riešení a tiež to, že jeho dimenzia je $n-h(A)$. (Nerobil som vetu 5.7.11, ktorá hovorí, že každý podpriestor $F^n$ je množinou riešení nejakej sústavy. Nebudem ju ani skúšať.)
Nehomogénne sústavy. Dokázali sme, že $h(A)=h(A^T)$. Dokázali sme Frobeniovu vetu a vetu o súvise riešení homogénnej a nehomogénnej sústavy.

[Martin Sleziak]

13. prednáška (14.12.)
V pondelok (v termíne prednášky) bude písomka, dnes bola namiesto cvičenia prednáška.
Determinanty. Na začiatku sme sa pozreli na plochu rovnobežníka resp. objem rovnobežnostena - aby sme neskôr videli, že to je to isté, čo dostaneme ako determinant. (Pri rovnobežnostene som výpočty preskočil, ale ak zo strednej školy poznáte vektorový súčin, ľahko si ich môžete prekontrolovať.)
Definícia determinantu a výpočet determinantu pre matice rozmerov do $3\times3$.
Transponovaná matica má rovnaký determinant ako pôvodná, t.j $|A|=|A^T|$. Ako menia riadkové úpravy determinant. Determinant hornej trojuholníkovej matice.
(Nestihol som Laplaceov rozvoj a ani determinant súčinu matíc - tieto veci spomeniem na cvičení, keď budeme rátať nejaké príklady.)

Veci o determinantoch som dokazoval trochu v inom poradí ako je v texte k prednáške. Najprv som - priamo z definície - dokázal že výmena riadkov mení znamienko. To som použil na dôkaz, že ak sa v matici opakujú riadky, tak $|A|=0$. V poznámkach je to urobené v opačnom poradí, ale tam v dôkaze používam Laplaceov rozvoj, o ktorom som zatiaľ nehovoril.

Na stránke predmetu nájdete prehľad základných vecí o determinantoch (je tam aj zopár riešených príkladov).