Zero character

[Martin Sleziak]

Vo viacerých cvičeniach mali autori predpoklad, že charakter je nenulový (non-zero); ale keď sme o tom diskutovali, tak sme nevedeli prísť na reprezentáciu, ktorá by nám dala samé nuly.

Google však tvrdí, že táto kniha nie je jediné miesto, kde sa takáto vec vyskytuje.

Zrejme zero character bude charakter pochádzajúci z nulového FG-modulu $\{0\}$. Čiže by mu zodpovedala reprezentácia, kde sú matice typu $0\times0$. To asi veľmi nezodpovedá naším predstavám o reprezentácii grupy, ale FG-modul to určite je. (Ak teda chceme mať jedno-jednoznačnú korešpondenciu medzi FG-modulmi a reprezentáciami, mali by sme akceptovať aj takúto reprezentáciu. Každopádne to je aj tak len nejaký triviálny prípad, ktorý nič významné neovplyvní.)

EDIT: V princípe je to ten istý problém ako pri lineárnych zobrazeniach a maticiach. Tam tiež chceme, aby sa každé lineárne zobrazenie pre ľubovoľnú voľbu báz na priestoroch, s ktorými robíme, dalo vyjadriť maticou. V niektorých textoch sa explicitne povie, že nulový priestor nemá bázu (požaduje sa, aby báza mala nenulový počet prvkov). Mne sa v mnohých ohľadoch zdá prirodzenejšie zobrať za bázu priestoru $V=\{0\}$ prázdnu množinu. Potom zobrazenia z takéhoto priestoru resp. do takéhoto priestoru budú zodpovedať maticiam $0\times n$ a $n\times0$. (Špeciálne zobrazenia z $V$ do $V$ sa vyjadria cez matice $0\times0$.)