Kurzweil-Henstockov a Perronov integrál

[Martin Sleziak]

Keďže sme sa začali trochu serióznejšie rozprávať o tom, že by sa mohli prebrať na seminári tieto typy integrálov, tak som vytvoril samostatný topic.
Ale zatiaľ som sem len skopíroval veci odtiaľto: viewtopic.php?f=41&t=924

Dnes padol návrh, že jedna z možných tém by bola Kurzweil-Henstockov integrál (ktorý je známy aj pod veľa ďalšími menami).
Bolo by však treba vybrať, podľa akého textu by sme túto tému prebrali.

Zdá sa, že nejaký prístup k nemu je aj v kapitole 22 knihy ktorú čítame. (Prinajmenšom podľa poznámok na konci tejto kapitoly - skopíroval som ich nižšie.) Ale podľa zbežného pohľadu sa zdá, že používajú nejakú pomerne neštandardnú definíciu.

Spoiler:

Our Perron integral is, by definition, the same as the $\mathscr P^0$-integral introduced in Saks (no date). By Saks' results VIII.3.9 and 3.11, a posteriori it turns out to be identical to the objects called the Perron integral (or $\mathscr P$-integral) and the restricted Denjoy integral (or $\mathscr D_*$-integral) defined in Saks' book. It also coincides with the Riemann-complete integral devised by R. Henstock (Can. J. Math. 20 (1968), 79-87. See H. W. Pu, Coll. Math. 28 (1973), 105-10).
For further theory we again refer to Saks.

Ak niekto z nás nájde staré poznámky, keď sa kedysi tento integrál už na seminári prof. Šaláta preberal, tak sa možno dá pozrieť, podľa čoho sa to študovalo vtedy.
Prípadne by sa možno hodili niektoré zo zdrojov uvedených tu: Looking for an accessible explanation of Henstock–Kurzweil (gauge) integral. Aj tento post vymenúva nejaké zaujímavé knihy - ktoré sa týkajú rôznych integrálov, nie iba tohoto typu integrálu.

EDIT: Renáta Masárová našla v starých poznámkach, že na seminári sa kedysi čítal tento článok:
Charles Swartz and Brian S. Thomson: More on the Fundamental Theorem of Calculus, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7, pp. 644-648. http://classicalrealanalysis.info/documents/2323311.pdf http://www.jstor.org/stable/2323311

[Martin Sleziak]

EDIT: Renáta Masárová našla v starých poznámkach, že na seminári sa kedysi čítal tento článok:
Charles Swartz and Brian S. Thomson: More on the Fundamental Theorem of Calculus, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7, pp. 644-648. http://classicalrealanalysis.info/documents/2323311.pdf http://www.jstor.org/stable/2323311

Okrem neho by sa mohli na seminári zreferovať aj nejaké časti tohoto článku:
T. Šalát: Operations with derivatives, generalized Riemann integration, and the structure of some function spaces, Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 38 (1993), 443-457
(Ja som ho na internete nenašiel v elektronickej podobe - máme ho ale aspoň papierovo; ak by niekto chcel, tak môžem mailom poslať scan.)

[Martin Sleziak]

Tu je ešte jeden materiál ku K-H integrálu:
Math 402 - Real Analysis: The Henstock-Kurzweil Integral
Steven Kao and Jocelyn Gonzales
http://www.math.unm.edu/~crisp/courses/ ... ocelyn.pdf

Našla ho R. Masárová.
V porovnaní s článkom Swartz-Thomson spomenutým vyššie má tú výhodu, že je tam veľa príkladov.

[Martin Sleziak]

Ďalšia referencia, kde sa spomína K-H integrál, je kniha Brian S. Thomson: Theory of the Integral.
Je voľne stiahnuteľná tu: http://classicalrealanalysis.info/Theor ... tegral.php

This text is intended as a treatise for a rigorous course introducing the elements of
integration theory on the real line. All of the important features of the Riemann integral,
the Lebesgue integral, and the Henstock-Kurzweil integral are covered.
The text can be considered a sequel to the four chapters of the more elementary
text The Calculus Integral which can be downloaded from our web site.
For advanced readers, however, the text is self-contained.

Na niekoľkých miestach sa spomína aj to, čo sme mi nazvali Newtonov integrál: viewtopic.php?t=1136 Tu je to pod názvom utility integral.

[Martin Sleziak]

Kniha Gordon R. The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock obsahuje pomerne veľa o tomto type integrálu pričom sa venuje rôznym prístupom. (Vrátane Henstock-Kurzweilovej definície aj Perronovej definície - na seminári sme videli zatiaľ tieto dve možnosti.)

Nejaké ďalšie informácie o knihe sa dajú prečítať napríklad na stránke AMS

[Martin Sleziak]

Článok Ma, Zheng Min; Lee, Peng Yee An overview of classical integration theory. Math. Medley 18 (1990), no. 2, 49–61, MR1106162.

Zdá sa, že Peng Yee Lee má pomerne veľa prác o Kurzweil-Henstockovom integrále. Napríklad aj knihu Lee Peng Yee, Rudolf Výborný: The Integral: An Easy Approach after Kurzweil and Henstock.
Knihu síce nemáme, ale dá sa na internete nájsť nejaké review.

[Martin Sleziak]

My sa asi K-H integrálom v takejto všeobecnosti zaoberať nebudeme, ale keďže, dvaja z autorov sú zo Slovenska, azda sa patrí spomenúť že existuje kniha: Antonio Boccuto; Beloslav Riečan; Marta Vrábelová: Kurzweil-Henstock integral in Riesz spaces.
Preview v Google Books.