Cvičenia ZS 2017/18

[Martin Sleziak]

11.týždeň

Výberové cviko (4.12.):
Rátali sme príklady z 10lzob.pdf. Urobili sme úlohu 4 z časti o maticiach zobrazenia. (Počet všetkých/injektívnych/surjektívnych lineárnych zobrazení.)
Prepočítali sme jednu úlohu na výpočet inverznej matice. Ukázali sme si, že pri tomto hľadaní inverznej matice sa dá robiť skúška aj "v strede výpočtu": viewtopic.php?t=531
A ešte sme sa pozreli na úlohu 6 z časti on inverzných maticiach, t.j. riešenie rovnice $AX=B$ pre zadané matice $A$, $B$. Niečo k takémuto typu úlohy nájdete aj tu: viewtopic.php?t=812

Dohodli sme sa, že budúci pondelok bude malá písomka, téma budú veci, ktoré sme sa učili rátať pomocou úpravy na redukovaný tvar. (Inak povedané veci z 09rtm.pdf.)

Povinné cviko (5.12.):
Robili sme prednáškové úlohy 16 a 17. Stihli sme úlohy 4.6.11(2), 4.6.11(3), 4.6.11(4), 4.6.11(8), 5.2.8(1), 5.3.6(5).
Úloha 5.2.8(1) hovorí, že každý podpriestor $\mathbb R^n$ je množinou riešení vhodnej sústavy. (Platí to aj pre ľubovoľné pole.) Postup z dôkazu sme si ukázali aj na konkrétne zadanom podpriestore.
Ešte raz sme sa rozprávali o skúške správnosti pri sústavách (a videli sme, že jedna možnosť skúšky súvisí s rozdelením riešenia na partikulárne riešenie homogénneho systému a všeobecné riešenie nehomogénneho systému): viewtopic.php?t=522
V súvislosti s jednou z úloh sme si všimli, že pre matice platí $(I+A+\dots+A^n)(I-A)=I-A^{n+1}$. (Tu sa nám to hodilo pre špeciálnu maticu, ktorej dosť vysoká mocnina je nulová. Taká matica sa volá nilpotentná.) Vo všeobecnosti pre matice nemusí platiť identita $(X-Y)(X^n+X^{n-1}Y+\dots+XY^{n-1}+Y^n)=X^{n+1}-Y^{n+1}$, ktorá funguje pre reálne čísla. Funguje však, ak tieto matice komutujú, t.j. $XY=YX$.
V jednom z príkladov sme videli zloženie dvoch rotácií. Pri tom nám vlastne vyšli súčtové vzorce pre kosínus a sínus. Niečo podobné sme videli už predtým pri komplexných číslach.
Nie je to náhoda - v skutočnosti sa komplexné čísla dajú zaviesť ako matice: viewtopic.php?t=571

[Martin Sleziak]

12.týždeň

Výberové cviko (11.12.):
Po písomke sme sa pozreli na nejaké príklady na determinanty. Konkrétne sme vyrátali jeden determinant z úlohy 1 (modulo preklep pri prepisovaní na tabuľu). a jeden determinant z úlohy 4.
Videli sme, že determinant sa vlastne dá použiť aj pri riešení úlohy o hodnosti s parametrom: viewtopic.php?t=782 viewtopic.php?t=783 viewtopic.php?t=160 (Prinajmenšom ak ide o štvorcovú maticu. A mohol by pomôcť aj v prípade, že nie je štvorcová.)
V súvislosti s tým, ako sa hodnota determinantu mení pri riadkových operáciách, sme spomenuli geometrický význame determinantu: viewtopic.php?t=555 (O tom ste ale hovorili aj na prednáške.)

Povinné cviko (12.12.): Písomka

[Martin Sleziak]

13.týždeň

Výberové cviko (18.12.):
Rátali sme príklady týkajúce sa ortogonálnej projekcie a ortogonálnej bázy.
Konkrétne sme sa z 12skal.pdf pozreli na úlohy 9, 14 a 10. (Pri úlohe 14 - výpočet ortogonálnej projekcie vektora - sme si ukázali viacero možných postupov a aj to, ak nájsť maticu projekcie.)
Viacero riešených úloh z tejto témy nájdete na fóre: viewtopic.php?t=993

Povinné cviko (19.12.):
Urobili sme niektoré z prednáškových úloh o determinantoch: 6.1.3(2), 6.1.3(8), 6.2.20(3), 6.2.20(4), 6.2.20(5).
Vrátili sme sa k hľadaniu ortonormálnej bázy - ten istý príklad, ktorý sme včera vyriešili iným spôsobom, sme teraz urobili Gram-Schmidtovým procesom. Je to príklad, ktorý sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=852
Ešte sme si potom v ukázali ako sa dá pomocou skalárneho súčinu odvodiť rovnobežníkové pravidlo.