Úloha 10.1 hľadanie homogénnej sústavy rovníc k riešeniu

[MartinPasen]

Nájdite homogénnu sústavu rovníc nad R, ktorej množina riešení je podpriestor S=[(1,1,1,−1),(2,3,−1,−6),(3,4,0,−7)] priestoru R^4

Najprv si generujúce vektory upravíme.

$$
\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & -1 \\
2 & 3 & -1 & -6 \\
3 & 4 & 0 & -7 \\
\end{matrix}
\right)
=
\left(
\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & -3 & -4 \\
0 & 1 & -3 & -4 \\
\end{matrix}
\right)
=
\left(
\begin{matrix}
1 & 0 & 4 & 3 \\
0 & 1 & -3 & -4 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{matrix}
\right)
$$

Keďže sú to dva LN vektory, tak vieme, že vygenerovaný priestor má dimenziu 2, naša sústava sa bude skladať z dvoch rovníc (iných ako 0=0).
Koeficienty a premenné v lineárnej rovnici sú v analogickej pozícií, čiže koeficienty budeme hľadať rovnako, ako keby sme hľadali riešenie sústavy.
$$
\left(
\begin{matrix}
1 & 0 & 4 & 3 |& 0 \\
0 & 1 & -3 & -4 |& 0 \\
\end{matrix}
\right)
$$

Vieme, že výsledná sústava bude zložená z dvoch rovníc, čiže si zvolíme 2 parametre. Keď máme takto upravenú sústavu najviac sa oplatí zvoliť si:
$$C_{3} =l, C_{4}=t $$
(t a l sú parametre, ktoré prechádzajú celú reálnu priamku)
teraz vieme jednoducho dopočítať zvyšné:
$$
C_{1} +4 C_{3}+ 3 C_{4} = 0 \\
C_{1} +4 l+ 3 t = 0 \\
C_{1} =-4 l -3 t \\
$$ $$
C_{2} -3 C_{3} -4 C_{4} = 0 \\
C_{2} -3 l -4 t = 0 \\
C_{2} = 3 l + 4 t \\
$$
To čo teraz máme je dvojrozmerný podpriestor rovníc, ktorého riešením je podpriestor zo zadania.
Čiže ak teraz zoberieme dva vektory (rovnice), z tohto podpriestoru, ktoré nebudú LZ (čiže budú generovať tento dovjpriestor) získame hľadanú sústavu.
Napríklad :
$$
l=1 \\
t=2 \\
-10 x_{1} +11x_{2}+ 1x_{3} + 2x_{4}=0 \\
$$
$$
l=1 \\
t=1 \\
7 x_{1} -7x_{2}+ 1x_{3} + 1x_{4}=0 \\
$$
Príklad hľadanej sústavy:
$$
-10 x_{1} +11x_{2}+ x_{3} + 2x_{4}=0 \\
7 x_{1} -7x_{2}+ x_{3} + x_{4}=0 \\
$$

[Martin Sleziak]

Skúste si skontrolovať výpočty - mali by ste zistiť, že dimenzia priestoru S je v skutočnosti 2. (Vám vyšla 3.)
A ešte potom, keď napíšete opravené riešenie, tak by som sa rád opýtal aj na nejaké zdôvodnenie prečo nájdená sústava vyhovuje zadaniu.

[MartinPasen]

aktualizované

[Martin Sleziak]

Riešenie je ok, značím si 1 bod.
Pridám, že možno voľba parametrov $l=0$, $t=1$ a obrátene by nám dala asi o čosi jednoduchšie rovnice. (Ale ako ste správne napísali, akékoľvek dve lineárne nezávislé rovnice z tejto množiny sú riešením.)
Pridám linku na staršie riešenie: viewtopic.php?t=825