Úloha 7.4. Zistite, či matice tvoria bázu vektorového priestoru všetkých matíc.

[korman]

Zistite, či nasledujúce matice tvoria bázu vektorového priestoru všetkých matíc
typu $2\times 2$ nad poľom $\mathbb R$:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & 4
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
5 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
1 & 2
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 5 \\
4 & 2
\end{pmatrix}
\]

Ako vyplýva zo skrípt, k týmto maticiam môžeme pristupovať ako ku vektorom v priestore $\mathbb R^{\mathbb R}$ a
zapísať ich ako vektory $(1, 2, 0, 4)$, $(2, 3, 5, 0)$, $(3, 0, 1, 2)$, $(0, 5, 4, 2)$.
Tieto vektory nám reprezentujú matice a môžeme s nimi ako takými pracovať, vidíme, že súčet matíc aj násobok nejakým $c$ vieme rovnako prevádzať a uskutočnovať na týchto vektoroch.

Ak si ich zapíšeme do matice a upravíme na redukovaný maticový tvar...

\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \\
2 & 3 & 5 & 0 \\
3 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \\
0 & -1 & 5 & -8 \\
0 & -6 & 1 & -10 \\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 4 \\
0 & 1 & -5 & 8 \\
0 & 6 & -1 & 10 \\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 10 & -12 \\
0 & 1 & -5 & 8 \\
0 & 1 & -5 & 8 \\
0 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 10 & -12 \\
0 & 1 & -5 & 8 \\
0 & 5 & 29 & -38 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]

V tomto momente môžeme prestať a uvidíme, že tieto matice zjavne netvoria bázu... Báza totiž obsahuje 4 matice a tu je jeden z nich lineárnou kombináciou ostatných, inak, vektory v bázi musia byť aspon 4 a lineárne nezávisle, tieto sú zjavne lineárne závislé ak sa pozrieme lepšie vidíme, že prvé dve matice sa v súčte rovnajú druhým dvom...

[Martin Sleziak]

Riešenie je ok, značím si 1 bod.
Pridám, že lineárna závislosť sa v tomto prípade dala aj uhádnuť - ak človek zbadá, že prvé dve matice dajú rovnaký súčet ako druhé dve matice. (Resp. súčet prvých dvoch vektorov je rovnaký ako súčet druhých dvoch vektorov.)
Ale je dobre, že to vieme rátať aj bez hádania - algortimicky.
Staršie riešenia: viewtopic.php?t=809 a viewtopic.php?t=364