Nerovnosť $h(AB)\le h(B)$

[Martin Sleziak]

Ukážte, že pre ľubovoľné matice $A$, $B$ nad tým istým poľom, ktoré majú také rozmery, že existuje súčin $AB$, platí $h(AB)\le h(B)$.

Podľa definície $h(A)=\dim(S_A)$, kde $S_A$ je podpriestor generovaný riadkami matice $A$.

Označme riadky matice $B$ ako $\vec b_1,\dots,\vec b_n$. T.j.
$$B=\begin{pmatrix}\vec b_1\\\vdots\\\vec b_n\end{pmatrix}.$$
Všimnime si, že potom pre súčin matíc dostaneme
$$AB=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\vec b_1\\\vec b_2\\\vdots\\\vec b_n\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a_{11}\vec b_1 + a_{12}\vec b_2 + a_{1n}\vec b_n \\
a_{21}\vec b_1 + a_{22}\vec b_2 + a_{2n}\vec b_n \\
\vdots \\
a_{m1}\vec b_1 + a_{m2}\vec b_2 + a_{mn}\vec b_n
\end{pmatrix}
$$
Inak povedané, riadky matice $AB$ sú presne lineárne kombinácie riadkov matice $B$, pričom koeficienty tejto lineárnej kombinácie pre $i$-ty riadok sú presne $a_{i1},\dots,a_{in}$. (T.j. prečítame si ich z matica $A$.)

Skúste si rozmyslieť, že uvedená rovnosť naozaj platí. (Malo by sa na to dať prísť priamo z definície násobenia matíc. Prípadne si to môžete okrem toho vyskúšať aj na niekoľkých konkrétnych príkladoch, aby ste videli, že to naozaj funguje takto.)

Na dôkaz nerovnosti $h(AB)\le h(B)$ nám úplne stačí fakt, že riadky matice $AB$ sú lineárne kombinácie riadkov matice $B$. To totiž znamená presne to, že každý vektor z $S_{AB}$ je lineárna kombinácia vektorov generujúcich $S_A$ a teda patrí do $S_A$.
Teda pre tieto podpriestory platí $S_{AB}\subseteq S_B$.
Pre ich dimenzie potom platí $\dim(S_{AB})\le \dim(S_B)$.
To znamená, že $h(AB)\le h(B)$.

Poznámka: Platí aj nerovnosť $h(AB)\le h(A)$. Skúste si rozmyslieť, či ju viete nejako odvodiť. (Napríklad s využitím nerovnosti, ktorú sme už dokázali a pomocou toho, že transponovanie nemení hodnosť.)

Web:
Na internete a v literatúre sa dajú nájsť dôkazy tejto nerovnosti. Poruke mám napríklad túto linku: How to prove and interpret $\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{min}(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B))$?

[Martin Sleziak]

Ešte sem doplním nejaké ďalšie veci, ak by ste si chceli rozmyslieť nejaké iné dôkazy $h(AB)\le h(A)$ resp. $h(AB)\le h(B)$. (Ak máte jednu nerovnosť, druhú dostanete ľahko transponovaním.)

* Skúste sa zamyslieť nad vzťahom medzi $\operatorname{Im} (g\circ f)$ a $\operatorname{Im} g$. Čo to hovorí o zodpovedajúcich maticiach?
* Čo viete povedať o vzťahu medzi množinou riešení homogénnej sústavy $AB\vec x^T=\vec 0^T$ a $B\vec x^T=\vec 0^T$? Čo to hovorí o hodnostiach týchto matíc?
* Toto je skoro to isté, čo v predchádzajúcom bode len povedané inak: Je nejaký vzťah medzi $\operatorname{Ker}(g\circ f)$ a $\operatorname{Ker} f$?

[Martin Sleziak]

Viacero ľudí tento týždeň na písomke pre 1INF používalo argumenty, ktoré boli správne iba ak by niektorá z matíc už bola v redukovanom tvare. Tak skúsim napísať, ako by sa dala táto nerovnosť dokázať pomocou riadkových úprav.

* Ak robíme riadkové úpravy na matici $A$, tak z nej dostaneme redukovanú trojuholníkovú maticu $EA$. (Kde ako $E$ som označil súčin matíc zodpovedajúcich riadkovým operáciám, ktoré sme urobili.)
* Ak si označíme počet riadkov matice $A$ ako $m$, tak v $EA$ máme $h(A)$ nenulových riadkov a $m-h(A)$ nulových riadkov.
* Tými istými riadkovými operáciami dostaneme z $AB$ maticu $EAB$. Táto matica má tiež $m$ riadkov a posledných $m-h(A)$ riadkov je nulových. (Treba si len rozmyslieť, že ak násobíme matice a v prvej z nich máme nulový riadok, v súčine nám na tej istej pozícii vyjde opäť nulový riadok.)
* To znamená, že $EAB$ má nanajvýš $h(A)$ nenulových riadkov, a teda $h(EAB)\le h(A)$.
* Už si len zostáva uvedomiť, že matice $AB$ a $EAB$ sú riadkovo ekvivalentné, čo znamená, že $h(AB)=h(EAB)$.
* Spolu dostávame $$h(AB) \le h(A).$$