Úlohy LS 2017/18

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem zverejňovať úlohy, za ktorých vyriešenie na fóre môžete získať nejaké body navyše. (Nezaručujem, že sa objavia nové úlohy každý týždeň. Obvykle sa úlohy objavia po cviku, na ktorom sme preberali danú tému.)

• Za riešenia úloh na fóre sa dá získať maximálne 5 bodov. Za správne riešenie úlohy sa dá získať 1 bod.
• Ak niekto začne riešiť úlohu a riešenie bude nesprávne (alebo čiastočne nesprávne), stále má možnosť ju opraviť - podľa možnosti teda nechajte kolegov doriešiť úlohu a svoje riešenie tej istej úlohy pošlite až vtedy, ak explicitne napíše, že už v riešení neplánuje pokračovať alebo keď už má svoje riešenie obodované.
• Keď budete posielať riešenie nejakej úlohy, začnite samostatný topic a do názvu dajte číslo úlohy. (Rozumné je v nadpise aj nejako stručne popísať úlohu.) Zadanie úlohy sa dá ľahko skopírovať, keď kliknete na quote.

Úmysel je zhruba ten, že je lepšie, keď vám prípadné chyby vytknem v riešení, ktoré tu zverejníte, ako na písomke alebo na skúške.

Ak sa tu objaví nejaké riešenie a bude vám v ňom niečo nejasné, tak sa neváhajte pýtať.

Počítajte s tým, že riešenia úloh dám časom preč (niekedy po skončení skúškového) - aby mohli podobné zadania znovu riešiť vaši kolegovia, ktorých budeme učiť ten istý predmet. Čiže ak si vaše riešenia chcete odložiť, treba to urobiť niekedy do konca skúškového.)

Nejaký základný help k tomu, ako písať matiku, je tu. Pre človeka, ktorý v živote nerobil s TeX-om môže zabrať nejaký čas, kým sa naučí základy. Každopádne - aj ak sa budete vyhýbať TeX-u - snažte sa písať tak, aby to bolo čitateľné.

[Martin Sleziak]

Úloha 1.1. Nech $(G,*)$ je grupa a $e$ je jej neutrálny prvok. Dokážte, že ak pre všetky $x\in G$ platí $x*x=e$, tak grupa $G$ je komutatívna.

Úloha 1.2. Uvažujme funkcie ${f_i} \colon {\mathbb R\setminus\{0,1\}} \to {\mathbb R\setminus\{0,1\}}$ definované ako $f_1(x)=x$, $f_2(x)=1/x$, $f_3(x)=1-x$, $f_4(x)=1/(1-x)$, $f_5(x)=(x-1)/x$, $f_6(x)=x/(x-1)$. Dokážte, že $G=\{f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6\}$ s operáciou skladania zobrazení tvorí grupu.

Úloha 1.3. Nájdite príklad nekonečnej grupy, ktorá obsahuje netriviálnu konečnú podgrupu. (Pod netriviálnou podgrupou tu rozumieme podgrupu, ktorá má viac ako jeden prvok.)

Úloha 1.4. Dokážte, alebo vyvráťte: Ak $H_1$ je podgrupa $G_1$ a $H_2$ je podgrupa $G_2$, tak $H_1\times H_2$ je podgrupa $G_1\times G_2$.

Úloha 1.5. Matice typu $n\times n$, ktoré v každom riadku a každom stĺpci majú práve jednu jednotku a ostatné prvky sú nulové, s operáciou násobenia matíc tvoria grupu. (Hint: Súvisia tieto matice nejako s permutáciami? Akým lineárnym zobrazeniam zodpovedajú?)

Úloha 1.6.* Nech $G$ je grupa a $a,b\in G$. Nech pre tieto prvky platia rovnosti $aba=ba^2b$, $b^3=e$ a pre nejaké $n\in\mathbb N$ platí $b^{2n-1}=e$. Dokážte, že $b=e$.
(Hint vedeli by ste ukázať $ab^2=b^2a$? Dá sa to ďalej použiť na dôkaz, že pre tieto prvky platí $ab=ba$?)

Úloha 1.7. Budeme pracovať v~grupe $(\mathbb R,+)$.
a) Dokážte, že $[\{2,3\}]=\mathbb Z$;
b) Dokážte, že $[\{1,\sqrt2\}]=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Z\}$.
c${}^*$) Je možné podgrupu $[\{1,\sqrt2\}]$ generovať jediným prvkom? (V terminológii, ktorú na prednáške ešte len zavedieme sa dá táto otázka sformulovať takto: Je podgrupa $[\{1,\sqrt2\}]$ cyklická?)

[Martin Sleziak]

Úloha 2.1. Je množina $H=\{\ln a; a\in\mathbb Q, a>0\}$ podgrupou grupy $(\mathbb R,+)$?

Úloha 2.2. Nech $A$, $B$ sú podgrupy grupy $G$. Dokážte, že $AB$ je podgrupa $G$ práve vtedy, keď $AB=BA$.

Úloha 2.3. Nájdite všetky podgrupy grupy $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ (súčin dvoch grúp sme definovali na prvom cvičení) a všetky podgrupy grupy $\mathbb Z_4$ (v oboch prípadoch operácia $\oplus$). Majú tieto grupy rovnaký počet dvojprvkových podgrúp? Viete na základe výsledku zdôvodniť, že tieto dve grupy nie sú izomorfné?

Úloha 2.4. Nech $V$ je vektorový priestor nad poľom $\mathbb R$. Je aj každá podgrupa grupy $(V,+)$ podpriestorom priestoru $V$? Ako je to s vektorovými priestormi nad poľom $\mathbb Z_p$?

Úloha 2.5. Nech $H$ je podgrupa grupy $G$. Nech $g\in G$. Ukážte, že $gHg^{-1}=\{ghg^{-1}; h\in H\}$ je podgrupa grupy $G$.

Úloha 2.6. Ukážte, že ak $G$ je grupa a $a\in G$, tak zobrazenie $f_a\colon G\to G$ definované ako $f_a(x)=axa^{-1}$ je izomorfizmus.

Nasledujúce úlohy priamo nesúvisia s tým, čo budeme robiť na tomto predmete. (Pre nás sú dôležité hlavne dva veľmi jednoduché prípady; jadro - čo je vlastne vzor jednoprvkovej množiny - a ešte obraz celej grupy.) Ale pretože s pojmom vzoru a obrazu množiny sa stretnete aj inde, možno si nezaškodí aspoň niečo jednoduché o nich precvičiť.

V nasledujúcich úlohách používame pre zobrazenie $f\colon X\to Y$ a podmnožiny $A\subseteq X$, $B\subseteq Y$ označenie
\begin{align*}
f[A]&=\{f(a); a\in A\}\\
f^{-1}\left[B\right]&=\{x\in X; f(x)\in B\}
\end{align*}

Úloha 2.7 Ukážte, že pre ľubovoľné zobrazenie $f\colon X\to Y$ a pre ľubovoľné $B_{1,2}\subseteq Y$ platí $f^{-1}[A_1\cap A_2]=f^{-1}[A_1]\cap f^{-1}[A_2]$.

Úloha 2.8 Nech $f\colon X\to Y$ je zobrazenie a $B_1,B_2\subseteq Y$. Ukážte, že ak $B_1\subseteq B_2$, tak $f^{-1}[B_1]\subseteq f^{-1}[B_2]$.

Úloha 2.9 Ukážte, že pre ľubovoľné zobrazenie $f\colon X\to Y$ a pre ľubovoľné $A_{1,2}\subseteq X$ platí $f[A_1\cap A_2]\subseteq f[A_1]\cap f[A_2]$. Nájdite príklad, pre ktorý neplatí rovnosť.

Úloha 2.10 Nech $f\colon X\to Y$ je zobrazenie a $A_{1,2}\subseteq X$. Ukážte, že ak $f$ je injektívne, tak $f[A_1\cap A_2]=f[A_1]\cap f[A_2]$.

[Martin Sleziak]

Úloha 3.1. Nech $\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\Zobr gG{G'}$ a $\Zobr h{H}{H'}$ sú homomorfizmy grúp. Potom aj zobrazenie $\Zobr f{G\times H}{G'\times H'}$ dané predpisom $f(x,y)=(g(x),h(y))$ je homomorfizmus. Ak $g$ a $h$ sú izomorfizmy (surjektívne homomorfizmy/injektívne homomorfizmy), tak $f$ je izomorfizmus (surjektívny homomorfizmus/injektívny homomorfizmus).

Úloha 3.2. Dokážte, že grupa $(\mathbb Q,+)$ nie je cyklická.

Úloha 3.3. Zistite, či sú grupy $G$ a $H$ izomorfné a či je grupa $H$ homomorfným obrazom grupy $G$. Svoju odpoveď zdôvodnite!
$G=(\mathbb C\setminus\{0\},\cdot)$, $H=(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$

Úloha 3.4. Zistite, či sú grupy $G$ a $H$ izomorfné a či je grupa $H$ homomorfným obrazom grupy $G$. Svoju odpoveď zdôvodnite!
$G=(\mathbb Q,+)$, $H=(\mathbb Q\setminus\{0\},\cdot)$

Úloha 3.5. Zistite, či sú grupy $G$ a $H$ izomorfné a či je niektorá z nich homomorfným obrazom druhej. Svoju odpoveď zdôvodnite!
a) $G=(\mathbb R,+)$, $H=(\mathbb R^+,\cdot)$
b) $G=(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$, $H=(\mathbb R^+,\cdot)$

Úloha 3.6. Nech $(G,*)$ je ľubovoľná grupa. Dokážte, že zobrazenie $g\mapsto g*g$ je homomorfizmus z $G$ do $G$ práve vtedy, keď $G$ je komutatívna.

Úloha 3.7. Nech ${f,g}\colon G\to H$ sú homomorfizmy grúp. Je množina $\{a\in G; f(a)=g(a)\}$ podgrupa grupy $G$?

Pripomeniem, že "$H$ je homomorfným obrazom grupy $G$" znamená, že existuje surjektívny homomorfizmus $G\to H$.

[Martin Sleziak]

Úloha 4.1. Ak počet inverzií permutácie $\newcommand{\permn}[3]{\begin{pmatrix}1 & 2 & \ldots & n \\ #1 & #2 & \ldots & #3\end{pmatrix}}\permn {a_1}{a_2}{a_n}$ je $k$, zistite počet inverzií permutácie $\permn {a_n}{a_{n-1}}{a_1}$.

Úloha 4.2. Dokážte, že alternujúca grupa $A_n$ je generovaná:
a) Množinou všetkých cyklov $(ijk)$ dĺžky 3.
b) Množinou cyklov dĺžky 3 tvaru $(123), (124), \ldots, (12n)$.

Úloha 4.3. Koľko permutácií z grupy $S_n$ má rád 2? (Inak povedané: Aký je počet prvkov alternujúcej grupy $A_n$?)

Úloha 4.4. Zistite, či pre ľubovoľnú podmnožinu $A$ grupy $G$ platí $AA^{-1}=A^{-1}A$. Svoje tvrdenie zdôvodnite.

Úloha 4.5. Vo vete na prednáške sme ukázali, že ak $H\triangleleft G$, tak predpis
$$(aH)\cdot(bH)=(ab)H$$
dobre definuje binárnu operáciu na množine ľavých tried rozkladu $G$ podľa $H$. Ukážte, že platí aj opačná implikácia: Ak uvedený predpis dobre definuje binárnu operáciu, tak $H\triangleleft G$. (Teda invariantnosť podgrupy $H$ je nielen postačujúca ale aj nutná podmienka na to, aby táto binárna operácia bola dobre definovaná.)

Úloha 4.6. Ak $A$ a $B$ sú normálne podgrupy $G$, $a\in A$ a $b\in B$, tak $aba^{-1}b^{-1}\in A\cap B$.

Úloha 4.7. Uvažujme grupu $G=\{A\in M_{2,2}(F); |A|=1\}$ s operáciou násobenia. (Pričom $F$ je ľubovoľné pole.) Definujme $H=\{\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}; a\in F\}$.
a) Overte, že $H$ je podgrupa $G$.
b) Je táto podgrupa komutatívna?
c) Je táto podgrupa normálna?
Aké lineárne zobrazenia zodpovedajú maticiam patriacim do $H$?

Úloha 4.8. Nech $G=\{\begin{pmatrix}a&0\\b&a\end{pmatrix}; a,b\in\mathbb R, a\ne0\}$ a $H=\{\begin{pmatrix}1&0\\c&1\end{pmatrix}); c\in \mathbb R\}$.
a) Overte, že $G$ tvorí s operáciou násobenia matíc grupu a že $H$ je podgrupa grupy $G$.
b) Je $H$ normálna podgrupa grupy $G$?
(Všimnite si, že $H$ je tá istá grupa, ako v predošlej úlohe, ale teraz sa na ňu pozeráme ako na podgrupu inej grupy.)

[Martin Sleziak]

Úloha 5.1. Nech $H$ je podgrupa grupy $G$ a $[G:H]=n$.
a) Ukážte, že ak $H$ je normálna podgrupa, tak pre každé $x\in G$ platí $x^n\in H$.
b) Platí toto tvrdenie pre ľubovoľnú podgrupu (t.j. aj bez predpokladu, že $H$ je normálna)?

Úloha 5.2. Nech $\newcommand{\Z}{\mathbb Z}G=(\Z\times\Z,+)$ a $H=2\Z\times3\Z$. Je $H$ normálna podgrupa grupy $G$? S akou grupou je izomorfná grupa $G/H$?

Úloha 5.3. Nech $G=\{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}; a,b,c\in\mathbb R, a,c\ne 0\}$. Zistite či $G$ je grupa.
Nech $H=\{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}; a,b\in\mathbb R, a\ne 0\}$. Je $H$ podgrupa grupy $G$?
Je táto podgrupa normálna? Ak áno, tak nájdite grupu, s ktorou je izomorfná faktorová grupa $G/H$.

Úloha 5.4. Dokážte, že ak $\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\Zobr fGH$ je surjektívny homomorfizmus grúp, tak ľavý (pravý) rozklad grupy $G$ podľa normálnej podgrupy $\newcommand{\Ker}{\operatorname{Ker}}\Ker f$ pozostáva presne z množín $\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}\inv f(x)=\{g\in G; f(g)=x\}$ pre $x\in H$.

[Martin Sleziak]

Úloha 6.1. Ak $R$ je obor integrity a $x^2=1$, tak $x=1$ alebo $x=-1$.

Úloha 6.2. Nech $R$ je komutatívny okruh s jednotkou. Dokážte, že v ňom platí binomická veta $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk \times a^kb^{n-k}.$$

Úloha 6.3. Zistite (a zdôvodnite), s akými okruhmi sú izomorfné okruhy $\mathbb Z_{60}/(15)$, $\mathbb Z_{60}/(20)$, $\mathbb Z_{60}/(12)$.

Úloha 6.4. Zistite, či dané ideály v okruhu $\mathbb Z\left[i\right]=\{a+bi; a, b\in\mathbb Z\}$ (s obvyklým sčitovaním a násobením komplexných čísel) sú maximálne ideály/prvoideály.
a) $(1+i)=\{(1+i)z; z\in\mathbb Z\left[i\right]\}$
b) $(2)=\{2z; z\in\mathbb Z\left[i\right]\}$

Úloha 6.5.${}^*$ Je ideál $(2+i)=\{(2+i)z; z\in\mathbb Z\left[i\right]\}$ maximálny ideál v okruhu $\mathbb Z\left[i\right]=\{a+bi; a, b\in\mathbb Z\}$? Je tento ideál prvoideál?

Úloha 6.6. Ak $I_1,I_2$ sú ideály v okruhu $(R,+,\cdot)$, tak aj
a) $I_1+I_2=\{a+b; a\in I_1,b\in I_2\}$ je ideál v$R$.
b) $I_1.I_2=\{a_1b_1+\dots+a_nb_n; n\in\mathbb N, a_i,b_i\in R\}$ je ideál v$R$.

Úloha 6.7. Nech $(G,*)$ je cyklická grupa, $a$ je jej generátor, t.j. $G=[a]$. Ak definujeme operáciu $\cdot$ ako $a^k\cdot a^l=a^{k.l}$ (pre ľubovoľné $k,l\in\mathbb Z$), tak $(G,*,\cdot)$ je okruh. Viete povedať (v závislosti od rádu generátora $a$) s akým okruhom je tento okruh izomorfný?

[Martin Sleziak]

Ak v niektorých úlohách budete potrebovať použiť Hornerovu schému, nemusíte ju sem prepisovať. (Dosť zle sa to TeXuje.)
Stačí jednoducho napísať to, ktoré čísla ste skúšali dosadzovať do Hornerovej schémy a čo vám vyšlo. (Výpočet by si mal byť každý schopný overiť už aj sám.)

Úloha 7.1. Rozložte na ireducibilné polynómy nad $\mathbb C$, nad $\mathbb R$, nad $\mathbb Q$ polynóm: $x^3+2x^2+2x+4$.

Úloha 7.2. Dokážte, že $x^2+x+1\mid x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}$ v $\mathbb C[x]$.

Úloha 7.3. Nájdite všetky ireducibilné polynómy nad $\mathbb Z_2$ stupňov 2,3,4.

Úloha 7.4. Nájdite rozklad $f(x)=4x^4+3x^3+4x^2+4x+6$ na ireducibilné polynómy v $\mathbb Z_7[x]$

Úloha 7.5. Nájdite rozklad $f(x)$ na ireducibilné polynómy v $F[x]$.
a) $f(x)=x^4-1$, $F=\mathbb Z_{11}$
b) $f(x)=x^4-1$, $F=\mathbb Z_{13}$

Úloha 7.6.* Nech $f(x)\in\mathbb Z[x]$ je polynóm s celočíselnými koeficientami. Dokážte, že ak $a+b\sqrt 3$ je koreň $f(x)$, tak aj $a-b\sqrt 3$ je koreň $f(x)$.

Úloha 7.7. Dokážte, že každý nenulový polynóm stupňa 3 nad poľom $\mathbb R$ má reálny koreň. (V tejto úlohe máte povolené používať veci, ktoré sme si od $\mathbb C$ povedali bez dôkazu. Alebo môžete použiť dôkaz založený na tom, čo viete z analýzy - potom sa na žiadne nedokázané veci odvolávať nebudete musieť.)

Úloha 7.8 Dokážte, že polynóm $f(x)=1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}\in\mathbb C[x]$ nemá viacnásobný koreň. (Tu sa môže hodiť veta 4.5.31 z textu k prednáške, ktorá hovorí, že polyńóm má násobný koreň práve vtedy, ak polynóm a jeho derivácia sú súdeliteľné.)

[Martin Sleziak]

Úloha 8.1. Dokážte: Nech $R$ je okruh hlavných ideálov, $a,b,c\in R$. Ak $\gcd(a,b)=1$ a $a\mid bc$, tak $a\mid c$.

Úloha 8.2. Dokážte, že ak $K$ je nadpole poľa $F$, tak $K$ je súčasne vektorový priestor nad $F$. (Pod tým, že $K$ je nadpole $F$, resp. že $F$ je podpole $K$ rozumieme to, že $F$ je podokruh $K$ a súčasne $F$ aj $K$ sú polia.) Tento dôkaz by mal byť vcelku ľahký - vlastne ide len o to, aby ste si zopakovali definíciu vektorového priestoru. Pretože ho však budeme často používať, tak sa naň možno nezaškodí pozrieť.

[Martin Sleziak]

Pripomeniem, že sme sa dohodli, že tieto úlohy (a prémie) sa dajú riešiť do konca tohoto týždňa.
Na začiatku skúškového odkryjem staršie riešenia z minulých rokov. (Takže vám príklady, ktoré nájdete na fóre, môžu poslúžiť ako nejaká zbierka riešených príkladov.)

Výnimkou sú úlohy týkajúce sa rozšírení polí - ktoré sem ešte pridám. Tie sa dajú odovzdávať aj cez skúškové.

Body za úlohy na fóre momentálne vyzerajú takto: Andrej Korman aj Ivan Agarský po 4 body.