Matica projekcie

[Martin Sleziak]

Zadanie

Nájdite maticu ortogonálnej projekcie na podpriestor
$S=[(2,1,1,3),(0,1,1,1),(0,1,2,1)]$.
(Môže byť pre vás užitočný vektor $\vec u=(1,1,0,-1)$. Môžete využiť informáciu, že $\dim(S)=3$, aj bez toho že by ste ju museli overovať.)

Ak sa chcete pozrieť na zadania z prvej písomky na výberových cvikách z minulých rokov - zvyčajne s podobným zameraním - nájdete ich na fóre. (Jednu z úloh som použil rovnakú ako vlani, takže tu píšem len komentár k tej druhej úlohe.)
viewtopic.php?t=1061
viewtopic.php?t=854
viewtopic.php?t=853
viewtopic.php?t=604
viewtopic.php?t=603

[Martin Sleziak]

Chyby ktoré sa vyskytovali

Väčšina z vás to rátala postupom na výpočet matice zobrazenia - čo nie je chyba, ale keďže som do zadania v podstate dal to ako vyzerá $S^\bot$, tak sa dala vypočítať matica priemetu na $S^\bot$ a potom odpočítať od jednotkovej matice. Maticu projekcie na jednorozmerný podpriestor vieme vypočítať ľahko.

Ak ste hľadali maticu zobrazenia, kde bolo zadné kam sa majú nejaké vektory zobraziť, tak sa dá urobiť skúška správnosti. Ale niekedy sa dá zbadať veľmi rýchlo, že niekde je chyba - viete totiž, že matica ortogonálnej projekcie (pri štandardnom skalárnom súčine) musí byť symetrická.

[Martin Sleziak]

Úloh podobného typu sa dá nájsť na fóre viacero: viewtopic.php?t=993

Nebudem rozpisovať detaily, skúsim stručne napísať riešenia.

Toto som síce napísal do zadania, ale aj úpravov na RTM sa dá skontrolovať, že $\dim(S)=3$ a $S^\bot=\vec u$.

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}$

Pomerne rýchla možnosť je vyrátať maticu projekcie na $S^\bot$, keďže je jednorozmerný.
Jednotkový vektor generujúci $S^\bot$ je $\vec a=\frac1{\sqrt3}(1,1,0,-1)$ a matica projekcie na $S^\bot$ je $$P'=\vec a^T\vec a =\frac13 (1,1,0,-1)\begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}=
\frac13\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 &-1 \\
1 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
-1 &-1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}.
$$
Potom už stačí dopočítať
$$P=I-P'=\frac13
\begin{pmatrix}
2 &-1 & 0 & 1 \\
-1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 3 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}.
$$

Iná možnosť výpočtu je využiť, že vieme že vektory z $S$ za nezmenia a vektory z $S^\bot$ sa musia zobraziť na nulu. Ak poznám obrazy vektorov nejakej bázy, tak to jednoznačne určuje lineárne zobrazenie a vieme štandardným postupom nájsť jeho maticu.

Spoiler:

$
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 &-1 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 &-3 &-1 &-1 & 0 &-2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 &\frac13 &\frac13 & 0 &\frac23
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac23 &-\frac13 & 0 & \frac13 \\
0 & 1 & 0 & 0 &-\frac13 & \frac23 & 0 & \frac13 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 &\frac13 &\frac13 & 0 &\frac23
\end{array}\right)
$