Cvičenia LS 2017/18

[Martin Sleziak]

1. týždeň (21.2.)
Nejaký čas sme strávili rozprávaním o organizačných veciach.
Pozreli sme sa na úlohy 2.1.3 a 2.1.6 z textu k prednáške.

[Martin Sleziak]

2. týždeň (28.2.)
Začali sme úlohou 2.1.2, kde sme vlastne videli ako môžeme dostať grupu na množine $G\times H$ z dvoch grúp $G$ a $H$.
Pozreli sme sa nejaké jednoduché príklady grúp a podgrúp. (Pritom sme zopakovali aj niečo o násobení komplexných čísel.)
Vyriešili sme úlohu 2.2.4 (pre podgrupu platí $H^2=H$ a úlohu 2.2.5 (kedy je zjednotenie dvoch podgrúp znovu podgrupa).
Ešte sme robili niečo s grupou regulárnych matíc $n\times n$. Ukázali sme si, že matice s determinatom 1 tvoria podgrupu. Okrem toho sme videli aj inú podgrupu, ktorá súvisí s komplexnými číslami (viď. nižšie). Wikipédia General linear group, Special linear group.

V jednej úlohe sme sa zaoberali maticami tvaru $\{\begin{pmatrix}a & b\\-b&a\end{pmatrix}; a,b\in\mathbb R, (a,b)\ne(0,0)\}$. Na cviku sme overili, že tvoria (pod)grupu úplne priamočiaro.
Dá sa to napríklad aj tak, že si človek uvedomí, že je to vlastne to isté ako komplexné čísla. (V poste, na ktorý som dal linku, je aj vzorec pre inverz k matici $2\times2$, ktorý som na cviku spomenul.)

[Martin Sleziak]

3. týždeň. (7.3.)
Ukázali sme, že $(S_n,\circ)$ (permutácie $\{1,2,\dots,n\}$) tvoria grupa a pre $n=3$ je nekomutatívna. (A takmer rovnako vieme zdôvodniť, že je nekomutavína pre $n\ge3$.)
Ukázali sme, že $id_G\colon G\to G$ je homomorfizmus a tiež konštantné zobrazenie $f\colon G\to H$, $f(x)=e_H$, je homomorfizmus.
Ukázali sme si izomorfizmus medzi $(\mathbb Z_4,\oplus)$ a $(\mathbb Z_5\setminus\{0\},\odot)$. Trochu sme hovorili o tom, čo vlastne znamená, že dve grupy sú izomorfné - opäť pridávam tú istú linku, ktorú som už spomenul viackrát: viewtopic.php?t=495
Viacero úloh typu: "Zistite, či grupy $G$ a $H$ sú izomorfné."
a) $G=\mathbb Z_6$, $H=\mathbb Z_4$
b) $G=\mathbb Z_6$, $H=S_3$
c) $G=(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$, $H=(\mathbb Q\setminus\{0\},\cdot)$
d) $G=(\mathbb R,+)$, $H=(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$
e) $G=(\mathbb R,+)$, $H=(\mathbb R^+,\cdot)$
f) $G=\mathbb Z$, $H=\mathbb Z\times \mathbb Z_2$
Na konci sme sa ešte pozreli na to, že grupový homomorfizmus je injektívny práve vtedy, keď $\operatorname{Ker} f=\{e\}$ (=jadro obsahuje iba neutrálny prvok).

Pri niektorých úlohách sme využívali kardinalitu, špeciálne to že $\aleph_0<2^{\aleph_0}$. Padla otázka, či platí $\aleph_1=2^{\aleph_0}$. Odpoveď je, že takéto tvrdenie sa nedá ani dokázať ani vyvrátiť. Niečo viac o tomto probléme (ktorému sa zvykne hovoriť hypotéza kontinua) vrátane nejakých odkazov na literatúru som napísal tu: viewtopic.php?t=1223

[Martin Sleziak]

4. týždeň (14.3.)
Rád prvku. Tieto dvojice prvkov majú rovnaký rád: $ab$, $ba$; $abc$, $bca$; $b$, $aba^{-1}$.
Permutácie. Pozreli sme sa na to ako nájsť rozklad permutácie na disjunktné cykly, rád permutácie, paritu permutácie. (Niektoré z vecí, ktoré sme používali, dokážeme až na zajtrajšej prednáške.)
Ekvivalencie a rozklady. Zopakovali sme nejaké základné veci o reláciách ekvivalencie a rozkladoch. (Ktoré by ste v podstate mali vedieť už z iných predmetov - stručne sú zosumarizované aj v poznámkach k prednáške.)

[Martin Sleziak]

5. týždeň (21.3.)
Relácie ekvivalencie. Zjednotenie relácií ekvivalencie nemusí byť relácia ekvivalencie. Prienik relácií ekvivalencie je relácia ekvivalencie.
Pre surjektívne zobrazenie $f\colon A\to B$ nám $(a,a')\in R$ $\Leftrightarrow$ $f(a)=f(b)$ dá reláciu ekvivalencie. Každá relácia ekvivalencie sa dá získať takýmto spôsobom. (Toto je úloha 3.1.3 v texte na stránke.)
Rozklad grupy podľa podgrupy. Na niekoľkých konkrétnych príkladoch sme sa pozreli na to ako vyzerá rozklad grupy podľa podgrupy: $G=(\mathbb Z,+)$, $H=3\mathbb Z$; $G=(\mathbb R,+)$, $H=\mathbb Z$, $G=(\mathbb R\times\mathbb R,+)$, $H=\{(x,y)\in\mathbb R^2;x-2y=0\}$.
Ukázali sme si aj dva nekomutatívne príklady. Pri rozklade $S_n$ podľa $A_n$ sme videli, že ľavý aj pravý rozklad sú rovnaké. Pri rozklade $S_3$ podľa dvojprvkovej podgrupy sme videli, že ľavý rozklad je iný ako pravý.

[Martin Sleziak]

6. týždeň (28.3.)
Ukázali sme, že každá štvorprvková grupa je izomorfná so $\mathbb Z_4$ alebo s $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$.
Pozreli sme sa na niekoľko príkladov týkajúcich sa faktorových grúp. (T.j. cieľom bolo nejako popísať $G/H$ a zistiť s čím je táto grupa izomorfná.)
Konkrétne: $G=\mathbb Z$, $H=4\mathbb Z$; $G=\mathbb R^2$; $H=\{(x,y); x-2y=0\}$; $G=\mathbb C\setminus\{0\}$, $H=$ jednotková kružnica.
Povedali sme si (zatiaľ bez dôkazu) vetu o izomorfizme a snažili sme sa ukázať ako sa takáto otázka dá riešiť aj pomocou tejto vety.
Riešenia nejakých úloh týkajúcich sa faktorových grúp sa dajú nájsť v texte k prednáške, na fóre - viewtopic.php?t=443 - alebo aj v tomto texte.

[Martin Sleziak]

7. týždeň (4.4.)
Dokázali sme vetu o faktorovom izomorfizme.
Normálne podgrupy.
Ak $H\cap H'=\{e\}$ pričom $H$ a $H'$ sú normálne podgrupy, tak pre $h\in H$, $h'\in H'$ platí $hh'=h'h$.
Ak $[G:H]=2$, tak $H$ je normálna podgrupa. Navyše, pre všetky $x\in G$ platí $x^2\in H$. (Ako dôsledok dostávame, že $A_n$ je normálna podgrupa $S_n$.)
Grupa $A_4$ nemá 6-prvkovú podgrupu - toto sme nedokončili. Hint na možné riešenie (s využitím vecí z dnešného cvika) je ukázať že ak by $H$ bola 6-prvková podgrupa $A_4$, tak by $H$ obsahovala všetky trojcykly.
Faktorové grupy. Grupa $\mathbb C\setminus\{0\}/\mathbb R^+$ je izomorfná s jednotkovou kružnicou.

[Martin Sleziak]

8. týždeň: V stredu bola namiesto cvičenia prednáška, vo štvrtok sme písali písomku.

9. týždeň (18.4.)
Okruhy.

• V ľubovoľnom okruhu platí: $a(-b)=-ab$, $(-a)(-b)=ab$, $(a+1)(a-1)=a^2-1$, ak je navyše komutatívny tak aj $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
• Ak je okruh $R$ komutatívny, okruh s jednotkou, okruh bez deliteľov nuly, má podobné vlastnosti aj $R\times R$? Má analogické vlastnosti ľubovoľný podokruh?
• Binomická veta platí v komutatívnych okruhoch - spravili sme aspoň pre druhú a tretiu mocninu.
• Ak máme okruh taký, že $a^2=a$ pre ľubovoľné $a$, tak tento okruh musí byť komutatívny.
• Sú zobrazenia $A\mapsto \det(A)$, $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\mapsto a$ okruhové homomorfizmy?
• Ak $R$ je komutatívny okruh, tak $I=\{ax; x\in R\}$ je ideál obsahujúci $a$. (Takéto ideály voláme hlavné ideály, zvyčajne budeme používať označenie $(a)$.)
• V okruhu $(\mathbb Z,+,\cdot)$ je $(5)$ prvoideál aj maximálny ideál; ideál $(6)$ nie je ani prvoideál ani maximálny. (Podobne to prejde pre ľubovoľné prvočíslo/zložené číslo.) Zodpovedá to tomu, či faktorový okruh je obor integrity resp. pole. V tomto prípade sú faktorové okruhy jednoduché: $\mathbb Z/(n)\cong (\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$.

Vo štvrtok na prednáške sme si povedali niečo o koreňoch polynómu a Hornerovej schéme. (Spomínam to tu, keďže je to vec, ktorú zvyčajne robím na cvičení.)

[Martin Sleziak]

10. týždeň (26.4.)
Tento týždeň sme sa vo štvrtok venovali príkladom a nie teórii. (V stredu bolo dekanské voľno pre ŠVK.)
Chcel som radšej prebrať nejaké príklady, aby sme písomku nemuseli nechať až na úplne posledný týždeň.

Polynómy.
Nejaké príklady k polynómom som dal aj na stránku: dnes sme robili niečo z prvej sady úloh, ktorá sa tam objavila. Nejaké vyriešené príklady z tejto témy nájdete aj v poznámkach k prednáške.
Konkrétne sme robili príklady na hľadanie racionálnych koreňov pre polynómy s celočíselnými koeficientami. (Aj sme urobili dôkaz prečo takáto metóda funguje.)
Okrem toho sme sa pozri na nájdenie n.s.d. a jeho vyjadrenie v tvare $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$. T.j. vlastne rozšírený euklidov algoritmus. Ukázali sme si to najprv na celých číslach. Potom sme začali (ale nedorátali) jeden príklad s polynómami.

Okrem toho sme sa trochu rozprávali o tom, ako je to s počtom koreňov polynómu. Povedali sme si, že pre polynóm stupňa $n$:

• Ak pracujeme nad poľom $\mathbb C$, tak má práve $n$ koreňov - musíme ich počítať vrátane násobnosti. Toto je známe ako Základná veta algebry. (Bez dôkazu, nie je ľahký.)
• Vo všeobecnosti vieme povedať, že polynóm stupňa $n$ má najviac $n$ koreňov. (Toto už funguje nad ľubovoľným poľom.) Opäť som to spomenul iba bez dôkazu, ale v tomto prípade nie je dôkaz až taký ťažký, dá sa spraviť pomocou vecí, ktoré sme sa už učili.

[Martin Sleziak]

11. týždeň (2.5.)
Polynómy. Robili sme hlavne príklady týkajúce sa rozkladu na koreňové činitele a rozkladu na ireducibilné polynómy. Pri tom sme súčasne zopakovali hľadanie racionálnych koreňov a niektoré veci o komplexných číslach.
Ukázali sme si aj to, že ak máme polynóm s reálnymi koeficientami a číslo $z$ je koreňom, tak aj komplexne združené číslo $\overline z$ je koreňom. Konkrétne sme prerátali z tejto sady úloh príllady 6a, 6e a 7a.

Zvyšok semestra už budú aj v stredy prednášky. (Minulý týždeň sme mali vo štvrtok namiesto prednášky cvičenie.)