Cantor-Bernsteinova veta nehovorí, že injekcia je súčasne bijekcia

Moderator: Martin Sleziak

Post Reply
Martin Sleziak
Posts: 5553
Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm

Cantor-Bernsteinova veta nehovorí, že injekcia je súčasne bijekcia

Post by Martin Sleziak »

Cantor-Bernsteinova veta hovorí toto:$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon#2\to#3}\newcommand{\card}[1]{#1}$
Nech $X$, $Y$ sú množiny. Ak platí $\card X\le\card Y$ a $\card Y \le \card X$, tak $\card X=\card Y$.
$$\card X \le \card Y \land \card Y \le \card X \Rightarrow \card X=\card Y$$
Inak: Ak existuje injekcia $\Zobr fXY$ a injekcia $\Zobr gYX$, tak
existuje bijekcia $\Zobr hXY$.
V jednej d.ú. (na inom predmete) sa vyskytlo niečo takéto ako súčasť dôkazu, že nejaké (konkrétne zadané) zobrazenie $\Zobr fXX$ je bijekcia.
Najprv bol správny dôkaz, že $f$ je injekcia. K surjektívnosti bolo napísané zhruba toto:
surjektívnosť:
Vyplýva z rovnosti definičného oboru a oboru hodnôt a toho, že existuje injekcia
Rovnosť množín je asi zjavná. Mohli by sme postupovať aj pomocou Cantor - Bernsteina.
Vieme totiž zjavne vytvoriť dve injekcie $f(x)$ a $g(x)$ definovanú $g(x) = f(x).$
Pričom $g$ ide "opačne" ako $f$.
Čiže takýto argument sa vlastne snaží povedať, že ak mám injektívne zobrazenie $X\to X$, tak musí byť aj surjektívne.
Toto určite nie je pravda. (Viete nájsť kontrapríklad? Vedeli by ste dokázať že pre konečné $X$ by niečo také platilo?)

Sem o tom píšem hlavne preto, že takáto nejasnosť v tom čo vlastne hovorí Cantor-Bernstein sa môže stať aj iným študentom tak sa možno oplatí zdôrazniť, že:

* Táto veta hovorí, že ak $\Zobr fXY$ je injekcia a $\Zobr gYX$ je injekcia, tak existuje nejaká bijekcia $\Zobr hXY$.
* Bijekcia, ktorej existenciu dostaneme sa vo všeobecnosti nerovná žiadnemu zo zobrazení $f$, $g$. (Aj keď z dôkazu vidno, že $h$ môžeme nejako "poskladať" z $f$ a $g$.)
* Špeciálne, z Cantor-Bernsteinovej nevyplýva, že by zobrazenie $f$ muselo byť bijektívne. Takisto nič takéto nevyplýva ani o zobrazení $g$.

Teda v úlohe, ktorú som spomenul, nám C-B veľmi nepomôže. Hovorí iba o tom, že existuje bijekcia $X\to X$. To by sme vedeli povedať aj bez odvolávania sa na nejaké ťažké vety - stačí zobrať $id_X$.
Post Reply