Možno na začiatok napíšem, že ak by sme definovali súčet takto, dostali by sme definíciu, ktorá nám poslúži rovnako dobre:
Definícia 1. Ak máme množiny $A$, $B$ s kardinalitami $|A|=a$, $|B|=b$, tak súčet týchto kardinálnych čísel definujeme ako kardinalitu množiny $A\times\{0\}\cup B\times\{1\}$, t.j.
$$a+b=|A\times\{0\}\cup B\times\{1\}|.$$
Ja sa skúsim vrátiť k takej definícii, ako som dal do textu k prednáške:
Azda ale bude dobré najprv sa vrátiť k tomu čo vlastne chceme definovať.Definícia 2. Nech $a$, $b$ sú kardinálne čísla a nech $A$, $B$ sú množiny také, že $|A|=a$, $|B|=b$.
Predpokladajme navyše, že množiny $A$ a $B$ sú disjunktné. Potom súčet kardinálnych čísel $a$ a $b$ je kardinálne číslo množiny $A\cup B$, t.j.
$$a+b=|A\cup B|.$$
Kardinálne číslo. Chceme pracovať s kardinálnymi číslami.
Dôležité je uvedomiť si, že kardinálne číslo je vždy reprezentované nejakou množinou. Ale takýchto reprezentantov sa dá vybrať veľa. Ak hovoríme o kardinalite množiny $A$, tak všetky množiny pre ktoré existuje bijekcia $A\to B$ majú tú istú kardinalitu.
Napríklad:
$2=|\{0,1\}|=|\{1,2\}|=|\{2,3\}|=|\{\emptyset,\{\emptyset\}\}|$
$\aleph_0=|\mathbb N|=|\mathbb Z|=|\mathbb N\times\{0\}|=|\mathbb N\times\{1\}|$
Čo chceme definovať. Chceme definovať súčet dvoch kardinálnych čísel. (A podobne aj ďalšie operácie, ale zdá sa, že na prednáške boli problémy najmä pri súčte.)
To vlastne znamená, že pre dve kardinálne čísla $a$, $b$ by sme chceli povedať, čo bude $a+b$.
Musíme si dať ešte pozor na jednu vec: Kardinály $a$ sa dá reprezentovať veľa rôznymi množinami, to isté platí aj pre kardinál $b$. Chceme zadefinovať súčet tak, aby výsledná kardinalita nezávisela od výberu reprezentantov. T.j. chcem aby bol súčet kardinálov dobre definovaný.
Čo pri definícii 1? Ak sa pozeráme na nejaké kardinály $a$, $b$, tak každý z nich je reprezentovaný nejakou množinou, t.j. máme $|A|=a$, $|B|=b$. Táto definícia nám hovorí, že jednoducho zoberieme kardinalitu množiny $A\times\{0\}\cup B\times\{1\}$.
$$a+b=|A\times\{0\}\cup B\times\{1\}|$$
Stále ešte treba overiť, či je to dobre definované (k tomu sa vrátime neskôr). Ale ak na chvíľu ignorujeme tento problém, dostali sme sa aspoň k tomu, že sme niečo priradili symbolu $a+b$.
Čo pri definícii 2? Opäť máme kardinály $a$, $b$. Znamená to, že máme nejaké dve množiny, pre ktoré $|A|=a$, $|B|=b$.
V definície ale máme navyše podmienku, že tieto množiny majú byť disjunktné. Čo s tým?
Nie je žiadny problém. Ak namiesto množiny $A$ vezmeme $A\times\{0\}$ a namiesto $B$ vezmeme $B\times\{1\}$, tak tieto množiny reprezentujú rovnaké kardinály, t.j. $|A\times\{0\}|=|A|=a$ a $|B\times\{1\}|=|B|=b$. (Viete vysvetliť prečo?)
Navyše určite platí $(A\times\{0\})\cap(B\times\{1\})=\emptyset$, čiže tieto nové množiny už určite sú disjukntné. A dostávame potom, že
$$a+b=|A\times\{0\}\cup B\times\{1\}|$$
Stále, ani pre definícii 2, nie je vyriešená otázka či výsledok nezávsí od výberu reprezentantov.
Táto vec trochu súvisí aj s tým, že sme si naozaj mohli dovoliť nahradiť množinu $A$ množinou $A\times\{0\}$, podobne pre množinu $B$.
Je niektorá z týchto definícii lepšia?
Vidíme, že v konečnom dôsledku sme dostali presne to isté.
Formulácia v definícii 2 sa zdá byť trochu prirodzenejšia. (Súčet zodpovedá zjednoteniu.) Ale aby sme to mohli sformulovať takto, museli sme pridať požiadavku o disjunktnosti a tiež sa zamyslieť nad tým, či vždy vieme pre zadané kardinály množiny, ktoré budú disjunktné.
Pri definícii 1 o disjunktnosti a výbere reprezentantov špekulovať nemusíme. Ale asi množina $A\times\{0\}\cup B\times\{1\}$ vyzerá o čosi zložitejšie ako $A\cup B$. (A pri vysvetľovaní toho, prečo sme vybrali práve túto množinu, by sme prešli podobnými úvahami ako sme robili pri definícii 2.)
Príklady
$$0+a=a$$
Pre kardinálne číslo $0$ máme iba jedného možného reprezentanta; $0=|\emptyset|$.
Či už použijeme jednu alebo druhú definíciu, tak dostaneme
\begin{gather*}
0+a = |\emptyset\times\{0\}\cup A\times\{1\}| = |A\times\{1\}| = a\\
0+a = |\emptyset \cup A| = |A| = a
\end{gather*}
Všimnime si, že v tomto prípade si nemusíme robiť starosti s disjunktnosťou, pre ľubovoľnú množinu $A$ totiž máme $A\cap\emptyset=\emptyset$.
Toto je vlastne dôkaz faktu, že pre kardinálne čísla platí $a+0$. Ako som spomenul na prednáške, viacero vecí, kde by bol dôkaz veľmi jednoduchý, budeme používať ale nebudeme dokazovať - napríklad $a\cdot0=0$, $a\cdot1=a$, $a^1=a$. (Môžete sa skúsiť zamyslieť nad dôkazom, mal by byť jednoduchý.)
$$1+2=3$$
Môžeme si vybrať rôzne množiny také že $|A|=1$, $|B|=2$.
Ak chceme použiť definíciu 2, tak si ich potrebujeme vybrať tak aby boli disjunktné.
Napríklad pre $A=\{0\}$, $B=\{1,2\}$ dostaneme
$$A\cup B=\{0,1,2\}.$$
Pre $A=\{1\}$, $B=\{2,3\}$ dostaneme
$$A\cup B=\{1,2,3\}.$$
Ak chceme použiť definíciu 1, tak už nie je nutné aby $A$ a $B$ boli disjunktné.
Napríklad pre $A=\{0\}$, $B=\{0,1\}$ dostaneme
$$A\times\{0\}\cup B\times\{1\} = \{(0,0),(0,1),(1,1)\}.$$
Podstatné je to, že sme dostali vždy množinu s rovnakým počtom prvkov.
$$\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$$
Opäť pre $\aleph_0$ sa dá vybrať veľa rôznych množín, ktoré predstavujú túto kardinalitu.
Napríklad pre $A=\mathbb N=\{0,1,2,\dots\}$ a $B=\mathbb Z\setminus\mathbb N=\{-1,-2,-3,\dots\}$ máme dve disjunktné množiny, obe majú kardinalitu $\aleph_0$. Teda $$\aleph_0+\aleph_0=|A\cup B|=|\mathbb Z|.$$
Ak by sme zobrali $A=B=\mathbb N$, tak takéto množiny sa nedajú použiť pri definícii 2, lebo nie sú disjunktné. Ak by sme použili definíciu 1, tak dostaneme
$$\aleph_0+\aleph_0=|A\times\{0\}\cup B\times\{0\}|=|\mathbb N\times\{0,1\}|.$$
O oboch množinách, ktoré nám vyšli, vieme ukázať že existuje bijekcia s množinou $\mathbb N$ a teda výsledná kardinalita je $\aleph_0$.
To isté dostaneme, aj ak si zvolíme iné $A$, $B$. (Pretože vieme z prednášky, že súčet kardinálnych čísel je dobre definovaný. A ideme sa na tento fakt pozrieť ešte raz.)
Súčet kardinálov je dobre definovaný
Skúsme sa teda ešte vrátiť k tomu, čo sme pri definícii preskočili - či takto definovaný súčet kardinálov je dobre definovaná operácia.
T.j. vlastne sa chceme presvedčiť, že ak $|A|=|A'|$ a $|B|=|B'|$, tak
$$|A\times\{0\}\cup B\times\{1\}|=|A'\times\{0\}\cup B'\times\{1\}|$$
(ak používame definíciu 1).
Alebo - pri definícii 2 - sa chceme presvedčiť, že ak $|A|=|A'|$, $|B|=|B'|$ a navyše $A\cap B=A'\cap B'=\emptyset$, tak
$$|A\cup B|=|A'\cap B'|$$
Spoiler: