Exercise 15.4 (p.158): Let $G$ be a group of order 12.
(a) Show that $G$ cannot have exactly 9 conjugacy classes. (Hint: show that $Z(G)$ cannot have order 6.)
(b) Using the solution to Exercise 11.2, prove that $G$ has 4, 6 or 12 conjugacy classes. Find groups $G$ in which each of these possibilities is realized.
$Z(G)$ nemôže mať 6 prvkov
Nech by $Z(G)$ mala 6 prvkov. Nech $x,y\in G$. Ak je aspoň jeden z nich zo $Z(G)$, tak $xy=yx$.
Zostáva prípad, že oba neležia v $Z(G)$. V tom prípade oba patria do tej istej triedy $aZ(G)$ ($a$ je ľubovoľný prvok ležiaci mimo centra). Potom sa oba prvky dajú vyjadriť v tvare $x=az_1$, $y=az_2$ pre nejaké $z_{1,2}\in Z(G)$, a teda
$$xy=az_1az_2=a^2z_1z_2=a^2z_2z_1=az_2az_1=yx.$$
Zistili sme, že $G$ je komutatívna a $|Z(G)|=12$ (čo je spor s predpokladom, že $Z(G)=6$).
Do istej miery podobný postup sa používa v dôkaze, že ak $G/Z(G)$ je cyklická, tak $G$ musí byť komutatívna.
Quotient of Group by Center Cyclic implies Abelian
$G$ nemôže mať 9 tried konjugácie
Prvky $Z(G)$ sú presne tie prvky, ktorých trieda konjugácie je jednoprvková.
Máme teda 4 jednoprvkové triedy konjugácie, z ostatných 8 prvkov už vytvorím najviac 4 ďalšie triedy (keďže tie už musia byť aspoň dvojprvkové).
Možné počty tried konjugácie
V Exercise 11.2 sme mali:
Pretože počet ireducibilných charakterov, počet neizomorfných ireducibilných reprezentácií a počet tried konjugácie je rovnaký, máme v jednotlivých prípadoch:Z toho, že počet prvkov grupy je súčtom štvorcov dimenzií neizomorfných ireducibilných reprezentácií máme tieto možnosti:
$12=3^2+3\times1^2$
$12=3\times2^2$
$12=2\times 2^2+4\times 1^2$
$12=2^2+8\times1^2$
$12=12\times1^2$
Navyše vieme, že sa medzi ireducibilnými $\mathbb{C}G$-modulmi musí vyskytnúť aspoň jeden jednorozmerný $\mathbb{C}G$-modul (konkrétne triviálny), tak možnosť $12=3\times2^2$ nemôže nastať.
- $12=3^2+3\times1^2$ === 4 triedy konjugácie
- $12=2\times 2^2+4\times 1^2$ === 6 tried konjugácie
- $12=2^2+8\times1^2$ === 9 tried konjugácie
- $12=12\times1^2$ === 12 tried konjugácie
Grupa $A_4$ má 4 triedy konjugácie s reprezentantmi $1$, $(12)(34)$, $(123)$, $(132)$, ako sme videli v Example 12.18(1).
Grupa $D_{12}=\langle a,b; a^6=b^2=e, b^{-1}ab=a^{-1}\rangle$ má 6 tried konjugácie $\{e\}$, $\{a,a^5\}$, $\{a^2,a^4\}$, $\{a^3\}$, $\{b,a^2b,a^4b\}$ $\{ab,a^3b,a^5b\}$. (Triedami konjugácie dihedrálnych grúp $D_{2n}$ pre párne $n$ sme sa zaoberali na s.108.)
Cyklická grupa $C_{12}$ má 12 tried konjugácie.