Prednášky LS 2017/18

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Ak by ste sa chceli z nejakých dôvodov pozrieť čo sa stihlo prebrať v minulosti:
viewtopic.php?t=837
viewtopic.php?t=413

[Martin Sleziak]

1. prednáška (22.2):
Grupy. Vlastne sme len stručne zopakovali veci z minulého semestra.
Podgrupy. Definícia a príklady. Kritérium podgrupy. Prienik ľubovoľného systému podgrúp je podgrupa. Podgrupa generovaná danou množinou, príklady.
Vlastne je to zhruba časť 2.1 a 2.2 z v poznámkach k prednáške. Jediné, čo som tam vynechal je príklad 2.1.4 a definícia 2.1.5 - tu sa definuje súčin grúp, k nemu sa chceme vrátiť na cvičení. Takisto som nespomenul ani lemu 2.2.11, ktorá je tiež dosť jednoduchá na to, aby zostala ako cvičenie. (Vlastne sa tam hovorí o tom, že podgrupa podgrupy je opäť podgrupa a o podobných vlastnostiach.)

[Martin Sleziak]

2. prednáška (1.3):
Homomorfizmy grúp. Definícia. Pre homomorfizmus platí $f(e_G)=e_H$ a $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$, t.j. homomorfizmus zachováva neutrálny prvok a aj inverzné prvky. Príklady homomorfizmov.
izomorfizmus. Zloženie homomorfizmov/izomorfizmov, ak $f$ je izomorfizmus, tak aj $f^{-1}$ je izomorfizmus.
Obraz/vzor podgrupy. Jadro a obraz.
Cyklické grupy. Definícia $x^n$, základné vlastnosti. (Lemu 2.4.2 som nedokazoval - dôkazy by boli vlastne iba precvičením dôkazu matematickou indukciou). Rád prvku: Definícia, príklady. Izomorfizmus zachováva rád prvku.

EDIT: Túto linku som vám už párkrát v nejakých postoch spomenul. Ale keďže znovu prišla reč na pojem izomorfizmu, pridám ju ešte raz: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=495

[Martin Sleziak]

3. prednáška (8.3.):
Cyklické grupy.
Konečná neprázdna podmnožina je podgrupou, ak je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu.
Cyklická grupa sa dá zapísať ako $G=[a]=\{a^n; n\in\mathbb Z\}$.
Kedy platí $a^k=a^l$. Každá cyklická grupa je izomorfná s $(\mathbb Z,+)$ alebo $(\mathbb Z_n,\oplus)$.
Homomorfný obraz/podgupa cyklickej grupy je cyklická. (Pri týchto dvoch výsledkoch som preskočil dôkaz. Nebudem ho ani skúšať. Takisto som preskočil vetu o tom, kedy je grupa $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ cyklická.)
Permutácie.
Definícia cyklu. Disjunktné permutácie komutujú.
Stručne som povedal, čo je rozklad na súčin disjunktných cyklov - poriadne toto tvrdenie sformulujem a k dôkazu sa dostanem až nabudúce.

[Martin Sleziak]

4. prednáška (15.3.):
Permutácie. Rozklad na súčin disjunktných cyklov - existencia a jednoznačnosť. (Dôkaz som nerobil detailne - skôr som iba naznačil algoritmus ktorým rozklad dostaneme a "nakreslil" prečo funguje.)
Rád permutácie. Parita permutácie. (Definícia, ako sa mení zložením s transpozíciou, ako súvisí s počtom transpozícií. Párne permutácie tvoria podgrupu $S_n$.)
Rozklad grupy podľa podgrupy. Súčin podmnožín grupy a niektoré jeho základné vlastnosti. (Z lemy 3.2.2 sme na dnešnej prednáške spomenuli len vlastnosti (i) až (iv).) Zadefinovali sme rozklad ľavé triedy rozkladu. Dokázali sme, že $aH=bH$ $\Leftrightarrow$ $ab^{-1}\in H$. Ďalej sme dokázali, že ľavé triedy rozkladu $G$ podľa $H$ tvoria skutočne rozklad. (To isté platí pre pravé triedy.) Zatiaľ jediný konkrétny príklad bol rozklad $(\mathbb Z,+)$ podľa $3\mathbb Z=\{3z; z\in\mathbb Z\}$.

[Martin Sleziak]

5. prednáška (22.3.):
Lagrangeova veta. Veľkosť a počet tried rozkladu. Dôsledky Lagrangeovej vety. (Nerobil som na prednáške vetu o tom, ako vyzerajú štvorprvkové grupy - urobíme ju na cviku.)
Normálne podgrupy. Ekvivalentné podmienky pre normálne podgrupy (=kedy sa ľavý a pravý rozklad rovnajú).
Faktorová grupa. Definícia faktorovej grupy a dôkaz, že skutočne ide o grupu. Ako príklad sme si ukázali $\mathbb Z/3\mathbb Z$; ďalšie príklady budeme vidieť na cvičeniach.

[Martin Sleziak]

29.3. prednáška odpadla (dekanské voľno).

Faktorové grupy. Vetu o izomorfizme som dokázal na včerajšom cvičení. (Toto bola vlastne posledná vec z kapitoly o grupách, ktorá ešte nebola na prednáške.)
EDIT: Preskočil som (neúmyselne) kanonický homomorfizmus - to je dôvod, prečo som ho potom detailne urobil pri faktorových okruhoch.

7. prednáška (5.4.):
Okruhy. Základné definície a niekoľko príkladov. (Okrem pár konkrétnych príkladov - číselné okruhy, matice - sme videli aj dve konštrukcie ako z okruhov vyrábať nové okruhy, konkrétne $R_1\times R_2$ a $R^M$, kde $M$ je ľubovoľná indexová množina.)
Podokruh. Okruh bez deliteľov nuly, obor integrity, teleso, pole.
Homomorfizmy. Definícia homomorfizmu a izomorfizmu okruhov. Niekoľko príkladov.
Ideály. Definícia ideálu. Jediné ideály v poli sú $\{0\}$ a $R$.
Spomenul som, že jadro homomorfizmu je ideál - toto som už nestihol dokázať, ale aspoň som chcel, aby bolo vidno nejakú podobnosť medzi ideálmi a normálnymi podgrupami. (Normálne podgrupy sú presne jadrá grupových homomorfizmov. Ideály sú presne jadrá okruhových homomorfizmov.)

Pri homomorfizmoch sme sa trochu rozprávali aj o tom, že komplexné čísla sa dajú interpretovať ako matice: viewtopic.php?t=571

[Martin Sleziak]

8. prednáška (12.4.): (Tento týždeň bola prednáška v stredu - v termíne cvika. Vo štvrtok sa písala písomka.)
Faktorové okruhy. Faktorový okruh - ukázali sme si, ako sa zadefinuje, že to je skutočne okruh a tiež že $R/I$ je komutatívny (okruh s jednotkou) ak $R$ je komutatívny (okruh s jednotkou a $R\ne I$.)
Pri veľa veciach v tejto časti sme sa odvolávali na to, čo sme už predtým dokázali pre grupy. Často sme používali najmä to, kedy sa rovnajú dve triedy: $a+I=b+I \Leftrightarrow a-b\in I$.
Kanonický homomorfimus. (Túto vec som preskočil pri grupách, tak som ju ukázal detailne teraz pri okruhoch. V poznámkach je pri okruhoch napísané iba toľko, že sa to urobí podobne.) Veta o izomorfizme.
Pre komutatívne okruhy s jednotkou platí: $R/I$ je obor integrity $\Leftrightarrow$ $I$ je vlastný prvoideál. $R/I$ je obor pole $\Leftrightarrow$ $I$ je maximálny ideál. (Nestihol som dokončiť dôsledok, ktorý z tohto vyplýva: Každý maximálny ideál je prvoideál.)

[Martin Sleziak]

9. prednáška (19.4.):
Okruhy polynómov. Ešte sme sa zaoberali definíciou okruhu polynómov, t.j. zadefinovali sme ako sa polynómy sčitujú a násobia. Ukázali sme si, že polynómu skutočne tvoria okruh. (Neskôr sa ešte trochu vrátime k tomu, ako súvisia polynómy a polynomické funkcie. S tým súvisí aj dosadzovací homomorfizmus, ktorý som stručne spomenul - t.j. že do polynómov sa dá dosadzovať a všetko "funguje tak ako má".)
Veta o delení so zvyškom. Dokázali sme dve vety s názvom "veta o delení so zvyškom". Jednu pre okruh $\mathbb Z$ a jednu pre okruh polynómov $F[x]$ nad poľom.

Toto zvyčajne robievam na cviku - budúci týždeň cvičenie odpadne, tak som sa tomu venoval na prednáške. (A aj na budúci týždeň možno odbočím na prednáške skôr k niečomu čo má bližšie k počítaniu príkladov.)
Korene polynómu, Hornerova schéma. Povedali sme si, kedy je $c$ koreň polynómu $f(x)$ a že to platí práve vtedy, keď $x-c \mid f(x)$. Ukázali sme si, ako sa dá použiť Hornerova schéma na výpočet hodnoty $f(c)$ (a teda aj zistenie či je to koreň) a tiež na nájdenie podielu pri delení polynómom tvaru $(x-c)$. (Takéto veci nájdete v poznámkach prednáške v podkapitole "Okruhy polynómov II". Sú tam aj nejaké vyriešené príklady.)

[Martin Sleziak]

10. prednáška (3.5.):
Polynómy. Rozdiel medzi polynómami a polynomickými funkciami. Dosadzovací homomorfizmus.
Deliteľnosť v okruhoch. Definícia a základné vlastnosti deliteľnosti, asociované prvky, delitele jednotky. Dva prvky sú asociované práve vtedy, keď sa líšia iba vynásobením deliteľom jednotky.
Euklidovské okruhy. Definícia, $\mathbb Z$ aj $F[x]$ sú Euklidovské okruhy.
Okruhy hlavných ideálov. Definícia, dokázali sme, že každý euklidovský okruh je OHI.
Deliteľnosť v okruhoch hlavných ideálov. Vysvetlili sme si, že $(a)\subseteq(b)$ $\Leftrightarrow$ $b\mid a$. Zadefinovali sme najväčší spoločný deliteľ. Spomenul som jeho súvis s ideálom $(a,b)=\{ax+by; x,y\in R\}$; ešte sa k tomu vrátim na začiatku budúcej prednášky.