Exercise 11.4

[Martin Sleziak]

Exercise 11.4 Suppose that $G = S_n$ and $V$ is the $n$-dimensional permutation module for $G$ over $\mathbb{C}$, as defined in 4.10. If $U$ is the trivial $\mathbb{C}G$-module, show that $\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}G}(V,U)$ has dimension 1.

Máme $U=\operatorname{span}(v)$, pričom $vg=v$.

Ak máme ľubovoľný homomorfizmus $\varphi \colon V \to U$, tak pre prvý bázový vektor platí
$$v_1\varphi=\lambda v.$$
Ak si teraz zoberieme $g=(1k)$, tak
$$v_k\varphi=(v_1g)\varphi=(v_1\varphi)g=\lambda vg=\lambda v.$$
Teda každý takýto homomorfizmus je násobok homorfizmu zobrazujúceho bázové vektory $v_i\mapsto v$.

[Martin Sleziak]

Riešenie vzadu

Vzadu píšu

Let $v_1, \dots, v_n$ be the natural basis of $V$. Then $\operatorname{sp} (v_1,\dots,v_n)$ is the unique trivial $\mathbb{C}G$-submodule of $V$ (compare Exercise 10.1). Hence by Corollary 11.6, $\dim (\operatorname{Hom}_{\mathbb{C}G}(V,U)) = 1$.

Čo mi nie je jasné na ich riešení je to, že otázka je o permutačnom module pre $S_n$ a v riešení sa odvolávajú na Exercise 10.1, ktorá hovorí o regulárnom $\mathbb{C}G$-module. Je pravda, že $V$ je podmodul $\mathbb{C}G$, ale vieme to už s vedomosťami z kapitoly 10, kde sa to cvičenie vyskytlo? (Možno to bol zo strany autorov len preklep.)

Každopádne je vcelku ľahké ukázať aj to, že aj permutačný modul obsahuje triviálny podmodul iba raz.
Ak $u=\lambda_1v_1+\dots+\lambda_nv_n$, tak $ug=\lambda_1v_{1g}+\dots+\lambda_nv_{ng}$.
Ak si zvolíme permutáciu $g=(1k)$, tak $1g=k$, a teda z rovnosti $u=ug$ dostaneme $\lambda_1=\lambda_k$. Teda $u$ je násobok vektora $v_1+\dots+v_n$.