Je správne $a<2^a$ či $a\le 2^a$?

[Martin Sleziak]

Z mailu:

V skriptách na strane 44 je uvedená veta 3.2.23, z ktorej následne vyplýva dôsledok

a je menšie nanajvýš rovné 2 ^ a

Z vety je mi jasné, že by tam nemala byť ostrá nerovnosť, ale v prehľade, ktorý sme od vás dostali, je tento dôsledok uvedený s ostrou nerovnosťou, teda

a je menšie 2 ^ a

Neviem zistiť, prečo je to raz tak a raz tak. Ak si zvolím za a napr. alef 0, tak potom tvrdenie a je menšie nanajvýš rovné 2 ^ a platiť nebude, lebo vieme, že
alef 0 je menšie ako 2 ^ alef 0 = c . To vyplýva z toho, že nevieme vytvoriť bijekciu z množiny napr. prirodzených čísel do množiny reálnych čísel (diagonálna metóda).

Ako to má teda byť správne s tými nerovnosťami prosím?

[Martin Sleziak]

Je to tak, že obe nerovnosti sú správne.

T.j. je pravda, že pre každé kardinálne číslo platí $a<2^a$. A je pravda aj to, že pre každé kardinálne číslo platí $a\le 2^a$.

Nerovnosť $a\le 2^a$ mala pomerne jednoduchý dôkaz, kde nám stačilo vedieť ako súvisí $2^a$ s kardinalitou potenčnej množiny a použiť definíciu. (Injekcia sa dala vcelku ľahko nájsť.) Túto nerovnosť sme teda dokázali už skoro na začiatku kapitoly o kardinalitách.

Neskôr sme odvodili Cantorovu vetu a dokázali, že platí aj $a<2^a$. (V súčasnej verzii je to veta 3.3.1.)
Toto je silnejší výsledok než sme dostali predtým.
Ukázali sme, že $a<2^a$. Z toho samozrejme vyplýva aj $a\le 2^a$.

Uvedomte si, že ak platí $x<y$, tak platí aj $x\le y$. Zápis $x\le y$ znamená to, že: $x<y$ alebo $x=y$.
A rovnako ako tu (pri kardinálnych číslach) to funguje aj pre reálne čísla - čiže na takéto niečo by ste mali byť zvyknutí.

Neviem zistiť, prečo je to raz tak a raz tak. Ak si zvolím za $a$ napr. $\aleph_0$, tak potom tvrdenie $a$ je menšie nanajvýš rovné $2^a$ platiť nebude, lebo vieme, že $\aleph_0$ je menšie ako $2^{\aleph_0} = \mathfrak c$ . To vyplýva z toho, že nevieme vytvoriť bijekciu z množiny napr. prirodzených čísel do množiny reálnych čísel (diagonálna metóda).

Ako píšete, je naozaj pravda že
$$\aleph_0 < 2^{\aleph_0}.$$
Lenže ak platí táto nerovnosť, tak platí aj
$$\aleph_0 \le 2^{\aleph_0}.$$