$f^{-1}[f[A]]$ platí práve vtedy, keď $f$ je injektívne

[Martin Sleziak]

Pridám sem ešte jednu skupinu z d.ú.7, ktorá nie je na fóre vyriešená.

Zadanie vyzerá takto.$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}\newcommand{\Obr}[2]{#1[#2]}\newcommand{\Invobr}[2]{{#1}^{-1}[#2]}$

Nech $\Zobr fXY$ je zobrazenie. Dokážte:
$f$ je injekcia práve vtedy, keď pre ľubovoľné $A\subseteq X$ platí $A=\Invobr f{\Obr fA}$.

Skúsim riešenie napísať do viacerých častí. Najmä preto, aby bolo jasné čo vlastne v jednotlivých častiach riešenia robím. (A asi je tiež dobré, aby bolo jasné kde sa používa injektívnosť.)
Snažil som sa veci rozpisovať trochu detailnejšie a trochu viac slovne než symbolicky - keď sa zdá, že možno aj s týmto mohol byť občas problém.

Chceme dokázať nejakú ekvivalenciu. Konkrétne, že
$$\text{$f$ je injektívne $\Leftrightarrow$ platí $(*)$},$$
pričom $(*)$ vyzerá takto:
$$(\forall A\subseteq X) A=\Invobr f{\Obr fA}\tag{*}$$

Budeme teda vlastne dokazovať dve implikácie.
Navyše jednu z nich si ešte rozdelíme na dve časti.
Postupne skúsim dokázať toto:

• Pre ľubovoľné zobrazenie $f$ (a ľubovoľnú množinu $A\subseteq X$) platí $A\subseteq \Invobr f{\Obr fA}$.
• Pre injektívne zobrazenie $f$ (a ľubovoľnú množinu $A\subseteq X$) platí $\Invobr f{\Obr fA}\subseteq A$.
• Ak platí $(*)$, tak $f$ je injektívne.

Azda je vidno, že prvé dva body nám dajú dôkaz pre implikáciu $\boxed{\Rightarrow}$, t.j. ak $f$ je injektívne tak platí rovnosť uvedená v $(*)$.
Dôkaz tejto rovnosti som naschvál rozdelil na dve časti (dôkaz každej inklúzie zvlášť) - aby bolo vidno v ktorej časti sa používa injektívnost a kde ju netreba.
Tretí bod je implikácia $\boxed{\Leftarrow}$.

V prvých dvoch častiach ukazujeme inklúzie - už sme zvyknutí, že to môžeme robiť tak, že uvažujeme o prvku z jednej množiny a dokážeme, že patrí aj do tej druhej.
Možno sa ešte oplatí pripomenúť definície a ujasniť si aké prvky patria do $\Invobr f{\Obr fA}$.
Prvok $x$ patrí do vzoru množinu $\Obr fA$ práve vtedy, keď $f(x)$ patrí to $\Obr fA$.
Do $\Obr fA$ patria práve tie prvky, na ktoré sa zobrazí niečo z množiny $A$.
\begin{align*}
x\in\Invobr f{\Obr fA} &\Leftrightarrow f(x)\in\Obr fA\\
y\in\Obr fA &\Leftrightarrow (\exists a\in A) y=f(x)
\end{align*}

Pre ľubovoľné $f$ platí $A\subseteq \Invobr f{\Obr fA}$.
Majme ľubovoľný prvok $a\in A$. (Chceme nejako ukázať že patrí aj do $\Invobr f{\Obr fA}$.)
Potom prvok $f(a)$ patrí do $\Obr fA$ priamo na základe definície obrazu množiny.
Tým sme vlastne ale dostali aj to, že $a$ patrí do $\Invobr f{\Obr fA}$. (Je to jeden z prvkov, ktoré sa zobrazia do $\Obr fA$.)

To isté stručnejšie:
\begin{align*}
a\in A
&\Rightarrow f(a)\in\Obr fA\\
&\Rightarrow a\in\Invobr f{\Obr fA}
\end{align*}
(Prvú implikáciu dostaneme z definície obrazu množiny. Druhú z definície vzoru množiny.)

Dokázali sme, že každý prvok z $A$ patrí aj do $\Invobr f{\Obr fA}$, tým je dokázaná celá inklúzia.

Pre injektívne $f$ platí $\Invobr f{\Obr fA}\subseteq A$.
Nech $x$ je ľubovoľný prvok z $\Invobr f{\Obr fA}$. (Chceli by sme nejako dokázať, že tento prvok patrí do $A$.)

Podľa definície vzoru to vlastne znamená, že $f(x)\in\Obr fA$.
Keď že použijeme definíciu obrazu, tak to vlastne hovorí presne to, že $f(x)$ je taký prvok, na ktorý sa zobrazilo niečo z $A$, čiže
$$f(x)=f(a)$$
pre nejaký prvok $a\in A$.

Pretože $f$ je injektívne, z rovnosti $f(x)=f(a)$ dostaneme priamo $x=a$.
Z toho ale už vidno, že $x$ patrí do $A$.

Poznámka. V tejto časti sme naozaj potrebovali použiť injektívnosť - bez nej to neplatí. (A v dôkaze som zvýraznil miesto, kde sme ju použili)
Skúste sa zamyslieť nad tým, či viete nájsť príklad zobrazenia pre ktoré neplatí rovnosť $\Invobr f{\Obr fA}\subseteq A$.
(Z toho, čo sme práve dokázali, už vidno že také zobrazenie nemôže byť injektívne.)

Spoiler:

Ak si zoberiete napríklad $f\colon\{0,1\}\to\{0\}$ také, že $f(0)=f(1)=0$, tak sa skúste pozrieť na to, čo vyjde pre $A=\{0\}$.

Mali by ste prísť na to, že $\Invobr f{\Obr fA}=\{0,1\}$, a teda sa nerovná množine $A$.

Ak platí $(*)$, tak $f$ je injektívne.

Tu je najlepšie postupovať nepriamo. (Alebo sporom - čo by vyzeralo podobne.)

T.j. chceme ukázať, že ak $f$ nie je injektívne, tak už neplatí $(*)$. (Ak sa vám podarilo nájsť kontrapríklad, ktorý som spomenul vyššie, tak úvahy v tomto dôkaze sú veľmi podobné.)

Ak $f$ nie je injektívne, tak to znamená, že existujú $a_{1,2}\in A$ také, že $f(a_1)=f(a_2)$ a súčasne $a_1\ne a_2$.

Zoberme si množinu $A=\{a_1\}$.

Pre túto množinu máme $$\Obr fA=\{f(a_1)\}.$$

Ak sa pozrieme na vzor $\Invobr f{\Obr fA}$, tak hneď vidíme, že ten obsahuje aj prvok $a_2$. (Pretože $f(a_2)\in \Obr fA$.)
Teda dostávame
$$A\ne \Invobr f{\Obr fA}.$$
(Ľavá množina neobsahuje $a_2$, pravá tento prvok obsahuje.)

Našli sme príklad množiny $A$ takej že neplatí rovnosť $A=\Invobr f{\Obr fA}$. To znamená, že $f$ nespĺňa podmienku $(*)$. (Táto podmienka hovorí, že uvedená rovnosť má platiť pre všetky možné $A$.)