Vzor obrazu

[Martin Sleziak]

Mohla by som riešiť príklady toho typu, čo posielam v prílohe aj slovne? Pozriete sa mi prosím na dôkaz, ktorý som spravila, či by to takto bolo akceptovateľné na písomke, alebo to musím vedieť nejak lepšie zapísať?

Odpoviem najprv na túto otázku.
Určite nie je rozdiel, či je riešenie napísané tak, že je tam veľa symbolov, alebo či je rozpísané nejako slovne.
Určite je oveľa lepšie ak je tam rozpísaný nejaký dlhý pokec, ktorému rozumiete; ako keď by sa človek snažil napísať niečo, čo sa podobá na zápisy aké videl na prednáške, ale bez toho že by im rozumel.
Stále si myslím, že ak rozumiete tomu čo sa snažíte dokázať, tak by ste to mali byť schopní aspoň nejako zapísať. (A v ideálnom prípade by sa mohlo podariť to, že to bude zrozumiteľné.)

Každopádne, či už vaše riešenie zapisujete slovne alebo ho zapíšete stručnejšie a bude tam len séria nejakých výrokov o množinách ktoré by mali hovoriť to čo sa dokazuje; dôležité je to, či je správne.

Skúsim sem odpísať zhruba to, čo som dostal mailom odfotené. A potom niektoré časti okomentovať.

Je to presne úloha, ktorá je vyriešená tu: viewtopic.php?t=1259

V tomto vlákne skúsim skôr napísať niečo k vášmu pokusu o riešenie.

Zadanie. Pre zobrazenie $f\colon X\to Y$ treba ukázať, že: $f$ je injekcia $\Leftrightarrow$ pre ľubovoľné $X\subseteq Y$ platí
$$A=f^{-1}[f[A]].$$

Riešenie. Máme zobrazenie $X\to Y$. Vieme, že $A$ je ľubovoľná podmnožina $X$.
$$A\subseteq X$$
($A\subseteq X \Leftrightarrow (a\in A) \Rightarrow (a\in X)$)
Overme potom, že platí
$$A=f^{-1}[f[A]].$$

Najprv sa ideme pozrieť na to čo je $f[A]$.
$f[A]$ je množina všetkých funkčných hodnôt, ktoré sme získali tým, že sme pustili zobrazenie $f$ na všetky prvky $a\in A$. ($f[A]=\{f(a); a\in A\}$)
Teda sme získali nejaký obraz množiny $A$, ktorý je obrazom všetkých prvkov $a\in A$ v zobrazení $f$.

Teraz sa ideme pozrieť (podľa zadania) ako bude vyzerať VZOR toho obrazu množiny $A$ - teda čo bude $f^{-1}[f[A]]$.
Pre vzor ľubovoľnej množiny $B\subseteq Y$ platí, že
$$x\in f^{-1}\left[B\right] \Leftrightarrow f(x)\in B.$$
Teda všetky $a\in A$ sme najprv zobrazili z množiny $A$ zobrazením $f$ a získali sme tak ich obraz $f[A]$. A teraz z toho obrazu chceme ísť naspäť niekam do množiny $X$ a nájsť jeho VZOR $f^{-1}[f[A]]$.
Teda prvok $a\in A$ bude patriť $f^{-1}[f[A]]$ len vtedy, ak nájdeme jeho funkčnú hodnotu $f(a)\in f[A]$. Tú máme, lebo $f$ priradilo každému prvku $a\in A$ túto funkčnú hodnotu.
Teraz ideme nájsť VZOR množiny $f[A]$.

Keďže zatiaľ nebolo nikde povedané, že $f$ je injekcia, prepokladajme, že $f$ nie je injekcia ... DÓKAZ SPOROM.

Definícia injekcie
\begin{align*}
f(x_1)=f(x_2) &\Rightarrow x_1=x_2\\
x_1\ne x_2 &\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)
\end{align*}

Teda $f$ mohlo priradiť prvkom $a_1\ne a_2\in A$ tú istú funkčnú hodnotu $f(a)=f(a_1)=f(a_2)$.

Potom vzorom $f[A]$ by bola vlastne napr. $A\setminus\{a_1\}$ pretože aj $a_2$ je vzorom $f[\{a_2\}]$, tak by sme našli tento vzor, ale $\{a_1\}$ by sme nenašli.

Teda $$f^{-1}[f[A]]=A\setminus\{a_1\}\ne A.$$

Aby sme toto ošetrili, musíme zabezpečiť, že všetky prvky $a\in A$ budú mať rozličné $f(a)\in Y$ a teda
$$a_1\ne a_2 \Rightarrow f(a_1)\ne f(a_2)$$
$\Leftrightarrow$ $f$ je injekcia.

[Martin Sleziak]

Prvá vec, ktorá sa mi nepozdáva na riešení tak ako je napísané, je mi že nie je jasné čo dokazujete.

Chceme ukázať, že injektívnosť $f$ je ekvivalentná s touto podmienkou:
$$(\forall A\subseteq X) A=f^{-1}[f[A]]\tag{*}.$$

Ale z toho, čo ste napísali, mi nie je jasné, či dokazujete že z injektívnosti vyplýva $(*)$, alebo obrátene.
Resp. ktorá časť je dôkaz ktorej z týchto dvoch implikácií.
Alebo sa nejako snažíte dokázať obe implikácie naraz?

Na začiatku sa zdá, že vlastne chcete ukázať rovnosť $(*)$.

Overme potom, že platí
$$A=f^{-1}[f[A]].$$

A teda keď som čítal riešenie ďalej dostal som sa po túto časť:

Teda prvok $a\in A$ bude patriť $f^{-1}[f[A]]$ len vtedy, ak nájdeme jeho funkčnú hodnotu $f(a)\in f[A]$. Tú máme, lebo $f$ priradilo každému prvku $a\in A$ túto funkčnú hodnotu.

Toto som pochopil tak, že tam tvrdíte že $A=f^{-1}[f[A]]$. (Neviem či to tak bolo aj myslené.)
Určite sa ale táto rovnosť nedá dokázať bez použitia injektívnosti $f$. (A tú ste zatiaľ nikde nepoužili. Kontrapríklad že bez injektívnosti to nefunguje je v v topicu kde je táto úloha vyriešená.)
Až na to, že sa to asi dalo zapísať možno aj o čosi jasnejšie (alebo aspoň by sa to dalo napísať tak, že by bolo jasné čo vlastne v tejto časti dokazujete) by som vcelku súhlasil s tým, že z toho čo ste napísali vidno platnosť inklúzie
$$A\subseteq f^{-1}[f[A]].$$

Potom pokračujete takto:

Keďže zatiaľ nebolo nikde povedané, že $f$ je injekcia, prepokladajme, že $f$ nie je injekcia ... DÓKAZ SPOROM.

Ok, toto by bolo fajn, ale iba na dôkaz implikácie, že ak platí $(*)$, tak $f$ je injektívne.
A z toho, čo píšte nižšie sa zdá, že chcete ukázať existenciu množiny $A$ pre ktorú $A\ne f^{-1}[f[A]]$. To je presne rozumná stratégia. (Napokon presne takto je to dokázané v inom vlákne, kde som sa snažil napísať nejaké riešenie tejto úlohy.)
A využiť na to chceme presne to, že existujú dva rôzne prvky $a_1$, $a_2$ pre ktoré $f(a_1)=f(a_2)$.

Akurát problém začína byť tu:

Potom vzorom $f[A]$ by bola vlastne napr. $A\setminus\{a_1\}$ pretože $\{a_2\}$ je vzorom $f[\{a_2\}]$, tak by sme našli tento vzor, ale $\{a_1\}$ by sme nenašli.

Teda $$f^{-1}[f[A]]=A\setminus\{a_1\}\ne A.$$

Jednak je trochu nejasné čo presne je $A$.
Podľa obrázku čo ste tam nakreslili by sa mohlo zdať, že $A$ je nejaká množina, ktorá obsahuje $a_1$ aj $a_2$.
Pretože tu píšete o vzore $f[\{a_2\}]$ možno ste mysleli $A=\{a_2\}$.
Každopádne ani v jednom z týchto prípadov nie je pravda, že $f^{-1}[f[A]]=A\setminus\{a_1\}$.

Skúsim trochu okomentovať nejaké možnosti.
Ak by sme zobrali $A=\{a_1,a_2\}$, tak $f[A]$ je jednoprvková množina obsahujúca iba prvok $f(a_1)=f(a_2)$. Jej vzor $f^{-1}[f[A]]$ obsahuje $a_1$ aj $a_2$.

Možnosť vyskúšať $A=\{a_2\}$ vedie k cieľu. (Čiže ak ste mysleli toto, tak to bol správny výber - v tom zmysle že dostaneme $f^{-1}[f[A]]\ne A$. Ale nie je pravda, že by sa vzor obrazu rovnal $A\setminus\{a_1\}$.)

V tomto prípade máme, že $a_1\notin A$. Ale množina $f^{-1}[f[A]]$ už prvok $a_1$ obsahuje.
(Stačí si uvedomiť, že $f(a_1)$ naozaj patrí do $f[A]=\{f(a_2)\}=\{f(a_1)\}$.)
Našli sme jeden prvok, ktorý v jednej z uvedených množín je a v druhej nie je, teda
$$A \ne f^{-1}[f[A]].$$

A toto by úplne stačilo ako argument že ak $f$ nie je injektívne, tak neplatí $(*)$.
Resp. ak na to idete sporom, tak dostali by ste spor s podmienkou $(*)$.
A teda by ste takto mohli dokázať jednu z implikáciu. (Konkrétne tú, že ako platí $(*)$, tak $f$ je injektívne.)

Ešte napíšem, že mi nebolo jasné, čo sa myslí touto formuláciou:

Potom vzorom $f[A]$ by bola vlastne napr. $A\setminus\{a_1\}$ pretože $\{a_2\}$ je vzorom $f[\{a_2\}]$, tak by sme našli tento vzor, ale $\{a_1\}$ by sme nenašli.

Zdôrazním, že vzor množiny je jednoznačne určený. (T.j. ak máme zobrazenie $f$ a množinu $B$, tak tým je jednoznačne určená množina $f^{-1}[ B ]$.)
Čiže by nadávalo zmysel tvrdiť napríklad to, že pre nejakú množinu by sme ako vzor množiny $f[A]$ dostali súäčastne dve rôzne množiny $\{a_1\}$ aj $\{a_2\}$. (Ale neviem, či toto je zhruba to k čomu ste v tejto časti smerovali.)

*****

Čiže keď zosumarizujem: V tom pokuse o riešení vidím:
a) Najprv niečo, čo by som bral ako argument ukzaujúci, že platí $A\subseteq f^{-1}[f[A]]$. Len by bolo ešte treba nejako (s použitím injektívnosti) dokázať aj druhú inklúziu.
b) Potom tú druhú časť, ktorá podľa mňa smeruje k dôkazu že z podmienky $(*)$ už vyplýva injektívnosť. A vyššie som sa snažil vysvetliť, že ste začali dobrým smerom a ako by sa to dalo dokončiť.