Systém množín a inklúzia

[Martin Sleziak]

Nech $\{A_i; i\in I\}$ je systém množín, pričom $I\ne\emptyset$. Dokážte, že ak pre každé $i\in I$ platí $A_i\subseteq B$, tak
$$\bigcup_{i\in I} A_i\subseteq B.$$

Spomeniem, že úlohy podobného typu sa objavili ako d.ú.2, čiže niečo k úlohám podobného typu sa dá nájsť aj tam.

Riešenie.
Nech $x\in\bigcup\limits_{i\in I} A_i$.
To znamená, že existuje $i_0\in I$, pre ktoré platí $x\in A_{i_0}$.
Podľa predpokladov vieme, že $A_{i_0}\subseteq B$. Z toho dostaneme, že $x\in B$.

Ukázali sme, že každý prvok z $\bigcup\limits_{i\in I} A_i$ patrí aj do množiny $B$, čo je presne zdôvodnenie zadanej inklúzie. $\square$

Ak niekto radšej zapisuje symboly a používa výroky s kvantifikátormi, tak by sme mohli riešenie napísať takto.

Riešenie.
Chceme ukázať:
\begin{align*}
(\forall i\in I) A_i\subseteq B &\Rightarrow \bigcup_{i\in I} A_i \subseteq B\\
[(\forall i\in I) (x\in A_i\Rightarrow x\in B)] &\Rightarrow (x\in \bigcup_{i\in I} A_i \Rightarrow x\in B)\\
[(\forall i\in I) (x\in A_i\Rightarrow x\in B)] &\Rightarrow [(\exists \in I)(x\in A_i) \Rightarrow x\in B]
\end{align*}
V jednotlivých krokoch sme vlastne len prepisovali dokazovaný výrok na iný ekvivalentný výrok - najprv podľa definície inklúzie, potom podľa definície zjednotenia systému množín.
Výrok, ktorý sme dostali na konci platí - je to presne výrok:
$$[(\forall i\in I) (P(i)\Rightarrow q)] \Rightarrow [(\exists i\in I) P(i) \Rightarrow q]$$
pre $P(i)\equiv (x\in A_i)$ a $q\equiv (x\in B)$.

******

Ako niekto správne poznamenal (a v písomke aj dokázal), dá sa dokázať aj opačná implikácia, t.j. v skutočnosti platí
$$(\forall i\in I) A_i\subseteq B \Leftrightarrow \bigcup_{i\in I} A_i \subseteq B.$$
Samozrejme, keďže v zadaní bola iba jedna implikácia, tak mi úplne stačil dôkaz tej implikácie.

Niektorým z vás som strhol nejaké body za zápisy, ktoré sa mi zdali nepresné alebo nejasné.
Čo sa mi nepozdávalo najviac boli zápisy ako:

$A_1\subseteq B, A_2\subseteq B, \ldots A_n\subseteq B \Rightarrow \bigcup\limits_{i\in I} A_i\subseteq B$

alebo

$x\in A_1 \lor x\in A_2 \lor \ldots \lor x\in A_n \Rightarrow x\in B$

Takto to vyzerá, ako keby ste uvažovali iba o prípade, keď $I$ je konečná množina resp. $I=\{1,2,\dots,n\}$.
My by sme chceli zapísať argument prečo uvedené tvrdenie platí akým spôsobom, aby bolo jasné že to funguje aj pre systém pozostávajúci z nekonečne veľa množín.

Z inej písomky:

$$(\forall i\in I)(x\in A_i \Rightarrow x\in B) (\exists i\in I) (x\in A_i \Rightarrow x\in B)$$
Ak tvrdenie platí pre všetky $i\in I$, potom platí aj pre niektoré.

Tu je problém v tom, že $(\exists i\in I)(x\in A_i \Rightarrow x\in B)$ nie je správny prepis toho, že $\bigcup\limits_{i\in I} A_i\subseteq B$.
Keď chceme túto inklúziu zapísať pomocou kvantifikátorov, tak dostaneme $[(\exists i\in I)x\in A_i]\Rightarrow x\in B$.

[Martin Sleziak]

Nech $\{A_i; i\in I\}$ je systém množín, pričom $I\ne\emptyset$. Dokážte, že ak pre každé $i\in I$ platí $B\subseteq A_i$, tak
$$B\subseteq \bigcap_{i\in I} A_i.$$

Riešenie. Chceme ukázať, že $B\subseteq \bigcap\limits_{i\in I} A_i$, t.j. že každý prvok z $B$ patrí do $\bigcap\limits_{i\in I} A_i$.

Nech $x\in B$ je ľubovoľný prvok množiny $B$.
Potom z $B\subseteq A_i$ dostávame, že $x\in A_i$ platí pre každé $i\in I$.
Výrok $(\forall i\in I) x\in A_i$ je len inak zapísaná podmienka $x\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i$.

Dokázali sme, že každý prvok z $B$ patrí do $\bigcap\limits_{i\in I} A_i$. To je presne dokazovaná inklúzia.$\square$

Opäť, to isté vieme zapísať aj pomocou kvantifikátorov a logických spojok - ak sa nám takýto zápis pozdáva viac.

Riešenie.
Chceme ukázať
\begin{gather*}
(\forall i\in I) (B\subseteq A_i) \Rightarrow B\subseteq \bigcap_{i\in I} A_i\\
[(\forall i\in I) (x\in B \Rightarrow x\in A_i)] \Rightarrow (x\in B \Rightarrow x\in \bigcap_{i\in I} A_i)\\
[(\forall i\in I) (x\in B \Rightarrow x\in A_i)] \Rightarrow [x\in B \Rightarrow (\forall i\in I x\in A_i)]
\end{gather*}
Dostali sme teda vlastne výrok tvaru
$$((\forall i\in I) q\Rightarrow P(i)) \Rightarrow (q \Rightarrow (\forall i\in I)P(i))$$
kde $q\equiv x\in B$ a $P(i)\equiv x\in A_i$. Takýto výrok skutočne platí. $\square$

V skutočnosti, keby sme boli úplne poriadni tak by sme mali rozpísať výrok v predošlom dôkaze o trochu detailnejšie. Inklúziu totiž definujeme tak, že pre každé $x$ platí že ak patrí do jednej množiny, tak patrí aj do druhej.
Teda vlastne sme mali v druhom riadku písať
$$[(\forall i\in I) (\forall x)(x\in B \Rightarrow x\in A_i)] \Rightarrow (\forall x) (x\in B \Rightarrow x\in \bigcap_{i\in I} A_i).$$
Dá sa rozmyslieť, že toto príliš nezmení dôkaz.
Jedna vec je, že všeobecné kvantifikátory celkom na začiatku môžeme vymeniť, t.j. výrok $(\forall x)(\forall i) A(x,i)$ a $(\forall i)(\forall x)A(x,i)$ sú ekvivalentné.
Ďalej nie je problém ani s implikáciou, pretože platí $[(\forall x) (B(x) \Rightarrow C(x))] \Rightarrow [(\forall x) B(x) \Rightarrow (\forall x)C(x)]$.
(Každopádne, to že ty treba dopĺňať nejaké detaily možno naznačuje, že je jednoduchšie - a aj zrozumiteľnejšie - popísať riešenie slovne než snažiť sa ho zapísať úplne formálne.)