Témy na zvyšok semestra

[Martin Sleziak]

Ako som spomínal, v prípade záujmu ešte je čo porozprávať.
Keďže v poznámkach čo sú na webe k týmto veciam nemám zatiaľ napísané nič, aspoň stručne skúsim napísať, čo sú niektoré z vecí o ktorých by sme mohli hovoriť.

• Niektoré dôkazy, čo som nestihol cez semester
• Iný dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety
• Axiomatický systém ZFC, nedokázateľné výroky
• Axióma výberu a jej dôsledky
• Cauchyho funkcionálna rovnica

[Martin Sleziak]

Chýbajúce veci zo semestra

Pri niektorých veciach čo sme tento semester robili sme preskočili dôkaz.
Konkrétne sme dokazovali, že pre kardinály platí $(a^b)^c=a^{bc}$, rovnosti $a^b\cdot a^c=a^{b+c}$ a $(ab)^c=a^c\cdot b^c$ sme už nedokázali.
Pri dôkaze, že $|\mathbb R|=\mathfrak c$ sme použili desiatkový rozvoj a to kedy je jednoznačný. Mohli by sme skúsiť poriadne dokázať, ako to funguje s rozvojmi reálnych čísel. (Aj keď pri dôkaze by sme si asi namiesto desiatkovej sústavy vybrali dvojkovú.)

Tieto veci by sa vlastne podobali na doterajšie prednášky. Ak sa vrátime k niečomu zo semestra, možno zaujímavejšia by mohla byť Cantor-Bernsteinova veta.

Ešte raz o Cantor-Bernsteinovej vete

Dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety, ktorý sme robil, bol taký že bol pomerne stručný a navyše používal nejaké veci o vzoroch a obrazoch, ktoré sa nám hodili inde. Bol v ňom však jeden z krokov, kde vôbec nebolo jasné prečo sme si vybrali množinu s ktorou chceme pracovať práve tak, ako sme to urobili.

Mohli by sme si ukázať iný dôkaz tejto vety, ktorý je síce zdĺhavejší, ale asi je intuitívne jasný, dokonca by som povedal, že keď človek tak trochu naznačí čo chceme robiť, tak sa naň dá prísť aj samostatne.

Prípadne by sme si mohli ešte povedať iný pohľad na ten pôvodný dôkaz, ktorý sme robili. Podobný dôkaz sa dá totiž urobiť v o čosi všeobecnejšom kontexte, pre pevné body monotónnych funkcií vo zväzoch.
Do zväzov sa určite púšťať nebudeme - nemáme na to potrebnú prípravu. Ale zato by sme si mohli ukázať niečo podobné pre jednotkový interval. Ak sa podarí, tak by mohlo byť vidieť podobnosť s dôkazom, ktorý sme robili. Navyše si pritom ukážeme niečo zaujímavé z analýzy. (Ak ste sa stretli s Banachovou vetou o pevnom bode, tak vám budú tieto veci povedomé.)

EDIT: Niečo k tomuto teraz už nájdete aj na stránke: viewtopic.php?t=1275

[Martin Sleziak]

Axiomatická teória množín

Existujú výroky, o ktorých je vieme, že sa nedajú ani dokázať ani vyvrátiť. Napríklad jeden známy výsledok takéhoto typu je hypotéza kontinua.
Aby sa takéto veci dali vôbec nejako zmysluplne dokazovať, treba poriadne sformulovať čo vlastne rozumieme pod dôkazom a z akých axióm vychádzame.

Povedali by sme si (veľmi zhruba a stručne) niečo o axiomatickom systéme ZFC a aj o tom, ako súvisí s takýmito výsledkami.

Axióma výberu

Jedna z axióm v systéme ZFC je axióma výberu. Skúsili by sme si povedať čo vlastne hovorí a prečo je práve táto axióma odlišná od ostatných axióm teórie množín.
Niektoré tvrdenia ktoré z nej vyplývajú spomenieme bez dôkazu, ale aspoň niektoré jednoduchšie tvrdenia by sme skúsili aj dokázať.
Ak sa podarí, tak by sme videli to že na jednej strane vyplývajú z axiómy výberu tvrdenia, ktoré sme úplne bežne zvyknutý používať. Na druhej strane niektoré veci z nej vyplývajúce sú veľmi kontraintuitívne. (Dobrým príkladom by mohol byť Banach-Tarského paradox.)

[Martin Sleziak]

Cauchyho funkcionálna rovnica

Zaujíma nás, aké funkcie vyhovujú podmienke
$$(\forall x,y\in\mathbb R) f(x+y)=f(x)+f(y).$$
Dá sa ľahko vidieť, že ju spĺňa každá funkcia tvaru $f(x)=ax$ (kde $a$ je nejaké reálne číslo).
Ak navyše požadujeme aby funkcia $f$ bola dostatočne slušná (napríklad spojitá), tak iné riešenia neexistujú.
Ukážeme si však, ako sa dá dostať k tomu, že existujú aj iné riešenia.
Existencia takýchto riešení súvisí nejako s axiómou výberu. (Aj keď možno to čo budeme robiť my sa skôr bude podobať na nejaké veci z prváckej lineárnej algebry, len ich zovšeobecním na nekonečnorozmerné priestory.)

Tejto rovnici sa zvykne hovoriť Cauchyho funkcionálna rovnica.