11. prednáška (9.5.):
Najväčší spoločný deliteľ. $\gcd(a,b)$ sa dá vyjadriť v tvare $ax+by$. Ak $\gcd(a,b)=1$ a $a\mid bc$ tak $a\mid c$. Platí $\gcd(bq+r,b)=\gcd(b,r)$; táto vlastnosť je základom rozšíreného Euklidovho algoritmu, o ktorom sme hovorili na cvičení.
Gaussove okruhy (okruhy s jednoznačným rozkladom) Definícia ireducibilného prvku a okruhu s jednoznačným rozkladom. Ireducibilné prvky v OHI súvisia s prvoideálmi, platí pre ne $p\mid ab$ $\Rightarrow$ $p\mid a$ $\lor$ $p\mid b$.
Okruh hlavných ideálov je okruh s jednoznačným rozkladom.
Charakteristika poľa. Ukázali sme, že ak $K$ je nadpole $F$, tak je to súčasne vektorový priestor nad $F$. Tento fakt má síce veľmi jednoduchý dôkaz, ale bude ešte často užitočný. Pripomeniem, že sa dal použiť napríklad na dôkaz, že $F=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$ je pole: viewtopic.php?t=349 S nejakými dosť podobnými poľami budeme ešte dosť veľa robiť.)
Ukázali sme, že konečné pole má $p^n$ prvkov pre nejaké prvočíslo $p$. (Pritom sme sa ale opierali o to, že konečné pole musí obsahovať podpole izomorfné so $\mathbb Z_p$; túto vec dokážeme až nabudúce.)
Prednášky LS 2017/18
Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, davidwilsch, jaroslav.gurican, Ludovit_Balko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2017/18
12. prednáška (16.5.):
Rozšírenia polí. Definícia rozšírenia a konečného rozšírenia, stupeň rozšírenia. Pre každý ireducibilný polynóm $p(x)$ existuje rozšírenie, v ktorom má koreň. toto rozšírenie má rovnaký stupeň ako polynóm $p(x)$ a je jednoznačne určené - je izomorfné s $F[x]/(p(x))$. Príklady konečných rozšírení ($\mathbb C$, $\mathbb Q(\sqrt2)$ a 4-prvkové pole $\mathbb Z_2[x]/(x^2+x+1)$.)
Pre pole $\mathbb Z_2[x]/(x^2+x+1)$ sme si ukázali ako sa v ňom počíta. (Ak vám niektoré veci čo sme robili všeobecne nie sú jasné, tak odporúčam vyskúšať si podobné výpočty na $\mathbb R[x]/(x^2+1)\cong\mathbb C$ a $\mathbb Q[x]/(x^2-2)\cong\mathbb Q(\sqrt2)$.)
Vetu 5.3.13, ktorá hovorí v istom zmysle o rozšírení izomorfizmu z poľa $F$ na väčšie pole $F(u)$, vynecháme. (Povieme si k nej stručný komentár, ak sa dostaneme k miestu, kde ju budem potrebovať.)
Ešte sem azda napíšem aj takúto vec, hoci na prednáške som ju nespomenul. V tých pár príkladoch, ktoré sme robili, sme dostali také rozšírenie, kde $p(x)$ už mal toľko koreňov, koľko je jeho stupeň. T.j. dal sa rozložiť na koreňové činitele, (Vlastne to tak aj muselo vyjsť, keďže sme robili s polynómom stupňa 2.) Nefunguje to však vždy, nejaký kontrapríklad je aj tu na fóre: viewtopic.php?t=456
Rozšírenia polí. Definícia rozšírenia a konečného rozšírenia, stupeň rozšírenia. Pre každý ireducibilný polynóm $p(x)$ existuje rozšírenie, v ktorom má koreň. toto rozšírenie má rovnaký stupeň ako polynóm $p(x)$ a je jednoznačne určené - je izomorfné s $F[x]/(p(x))$. Príklady konečných rozšírení ($\mathbb C$, $\mathbb Q(\sqrt2)$ a 4-prvkové pole $\mathbb Z_2[x]/(x^2+x+1)$.)
Pre pole $\mathbb Z_2[x]/(x^2+x+1)$ sme si ukázali ako sa v ňom počíta. (Ak vám niektoré veci čo sme robili všeobecne nie sú jasné, tak odporúčam vyskúšať si podobné výpočty na $\mathbb R[x]/(x^2+1)\cong\mathbb C$ a $\mathbb Q[x]/(x^2-2)\cong\mathbb Q(\sqrt2)$.)
Vetu 5.3.13, ktorá hovorí v istom zmysle o rozšírení izomorfizmu z poľa $F$ na väčšie pole $F(u)$, vynecháme. (Povieme si k nej stručný komentár, ak sa dostaneme k miestu, kde ju budem potrebovať.)
Ešte sem azda napíšem aj takúto vec, hoci na prednáške som ju nespomenul. V tých pár príkladoch, ktoré sme robili, sme dostali také rozšírenie, kde $p(x)$ už mal toľko koreňov, koľko je jeho stupeň. T.j. dal sa rozložiť na koreňové činitele, (Vlastne to tak aj muselo vyjsť, keďže sme robili s polynómom stupňa 2.) Nefunguje to však vždy, nejaký kontrapríklad je aj tu na fóre: viewtopic.php?t=456
-
Martin Sleziak
- Posts: 5689
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2017/18
13. prednáška (17.5.):
Algebraické rozšírenia. Definícia algebraického prvku, algebraického rozšírenia, minimálneho polynómu.
Prvok $u$ je algebraický práve vtedy, keď $F(u)$ je konečné rozšírenie $F$. Každé konečné rozšírenie je algebraické. Dôkaz rovnosti $[K:F]=[K:L].[L:F]$ a popis bázy dvojnásobného rozšírenia.
Ukážka výpočtu stupňa rozšírenia a minimálneho polynómu pre $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)=\mathbb Q(\sqrt2+\sqrt3)$.
Rozkladové polia. Túto tému som už nestihol. (Nebudem ju ani skúšať.) Základná informácia v poslednej kapitole je: Pre každé $q=p^n$ existuje (až na izomorfizmus jediné) pole s $q$ prvkami a je to rozkladové pole polynómu $x^q-x$ nad $\mathbb Z_p$. (Teda vlastne máme kompletný popis konečných polí.)
Pre ľudí, čo si to budú chcieť pozrieť samostatne: Časť o tom, že existuje $q$-prvkové pole by mala byť ľahšia. (Jedna vec, ktorá sa tam využíva a preskočili sme ju na prednáške, je dôkaz rovnosti $(a+b)^p=a^p+b^p$ v poli charakteristiky $p$, čo je v podstate iba binomická veta a overenie, že $p\mid\binom pk$ pre $0<k<p$. Druhá je popis polynómov, ktoré nemajú násobné korene, pomocou derivácie. Tú tiež nie je ťažké dokázať.) V dôkaze jednoznačnosti sa odvolávam na viacero viet, ktorých dôkaz som na prednáške preskočil. Ale keď si aj povedzme nepozriete ich dôkazy, tak tie vety sú vcelku uveriteľné. (V tom zmysle, že hovoria niečo také ako napríklad: Ak mám dve izomorfné polia a v nich mám koreň "toho istého" ireducibilného polynómu - pod "toho istého" sa rozumie, že koeficienty som zobrazil príslušný izomorfizmus - tak dostanem izomorfné rozšírenia, ak pridám takýto koreň. Takto sformulované to vyzerá, že by to malo platiť - veď predsa izomorfné je "v podstate to isté". Keď to človek chce dokázať poriadne, tak treba spraviť aj nejaké technické detaily.) Čiže dôkaz jednoznačnosti sa dá čítať aj tak, že niektorým častiam dôkazu iba uveríte, resp. si skúsite premyslieť, čo to vlastne hovorí, a ak vám bude jasné, čo spomínané vety hovoria, tak technické detaily dôkazu možno nie sú až také veľmi dôležité.)
Algebraické rozšírenia. Definícia algebraického prvku, algebraického rozšírenia, minimálneho polynómu.
Prvok $u$ je algebraický práve vtedy, keď $F(u)$ je konečné rozšírenie $F$. Každé konečné rozšírenie je algebraické. Dôkaz rovnosti $[K:F]=[K:L].[L:F]$ a popis bázy dvojnásobného rozšírenia.
Ukážka výpočtu stupňa rozšírenia a minimálneho polynómu pre $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)=\mathbb Q(\sqrt2+\sqrt3)$.
Rozkladové polia. Túto tému som už nestihol. (Nebudem ju ani skúšať.) Základná informácia v poslednej kapitole je: Pre každé $q=p^n$ existuje (až na izomorfizmus jediné) pole s $q$ prvkami a je to rozkladové pole polynómu $x^q-x$ nad $\mathbb Z_p$. (Teda vlastne máme kompletný popis konečných polí.)
Pre ľudí, čo si to budú chcieť pozrieť samostatne: Časť o tom, že existuje $q$-prvkové pole by mala byť ľahšia. (Jedna vec, ktorá sa tam využíva a preskočili sme ju na prednáške, je dôkaz rovnosti $(a+b)^p=a^p+b^p$ v poli charakteristiky $p$, čo je v podstate iba binomická veta a overenie, že $p\mid\binom pk$ pre $0<k<p$. Druhá je popis polynómov, ktoré nemajú násobné korene, pomocou derivácie. Tú tiež nie je ťažké dokázať.) V dôkaze jednoznačnosti sa odvolávam na viacero viet, ktorých dôkaz som na prednáške preskočil. Ale keď si aj povedzme nepozriete ich dôkazy, tak tie vety sú vcelku uveriteľné. (V tom zmysle, že hovoria niečo také ako napríklad: Ak mám dve izomorfné polia a v nich mám koreň "toho istého" ireducibilného polynómu - pod "toho istého" sa rozumie, že koeficienty som zobrazil príslušný izomorfizmus - tak dostanem izomorfné rozšírenia, ak pridám takýto koreň. Takto sformulované to vyzerá, že by to malo platiť - veď predsa izomorfné je "v podstate to isté". Keď to človek chce dokázať poriadne, tak treba spraviť aj nejaké technické detaily.) Čiže dôkaz jednoznačnosti sa dá čítať aj tak, že niektorým častiam dôkazu iba uveríte, resp. si skúsite premyslieť, čo to vlastne hovorí, a ak vám bude jasné, čo spomínané vety hovoria, tak technické detaily dôkazu možno nie sú až také veľmi dôležité.)