Ukážte, že pre ľubovoľné množiny $A$, $B$ platí $$A\subseteq B\Leftrightarrow B=A\cup B.$$
Dôkaz, že tieto podmienky sú ekvivalentné sa dá nájsť aj ako tvrdenie v texte (aj s dôkazom).Ukážte, že pre ľubovoľné množiny $A$, $B$ platí $$A\subseteq B\Leftrightarrow A=A\cap B.$$
Skúsim sem niečo napísať napríklad k druhej skupine (prienik).
Riešenie. Budeme dokazovať každú z implikácií zvlášť.
$\boxed{\Rightarrow}$ Predpokladajme, že $A\subseteq B$. Chceme ukázať, že $A=A\cap B$.
Ak $x\in A\cap B$, tak priamo z definície prieniku máme, že aj $x\in A$.
Obrátene, predpokladajme že $x\in A$. Pretože $A\subseteq B$, platí potom aj $x\in B$. Čiže vidíme, že
$$(x\in A)\land (x\in B)$$
čo znamená, že $x\in A\cap B$.
Ukázali sme, že $$(x\in A\cap B)\Leftrightarrow (x\in A),$$
čo je presne rovnosť $$A=A\cap B.$$
$\boxed{\Leftarrow}$ Predpokladajme, že $A=A\cap B$.
Nech $x\in A$. Na základe uvedenej rovnosti to znamená, že $x\in A\cap B$. Priamo z definície prieniku vidíme, že potom aj $x\in B$.
Ukázali sme, že z $x\in A$ vyplýva $x\in B$, čo je presne inklúzia
$$A\subseteq B.$$
Poznámka: Implikáciu $\boxed{\Leftarrow}$ sme mohli ukázať aj tak, že najprv dokážeme platnosť inklúzie $A\cap B\subseteq A$ pre ľubovoľné množiny $A$, $B$. (Čo je zhruba ten istý dôkaz zapísaný inak. Ale aspoň sme si rozmysleli ako samostatné tvrdenie tento fakt - ktorý môže byť občas užitočný.)