Exercise 14.8 Suppose that $\chi$ is a character of $G$ and that for every $g \in G$, $\chi(g)$ is an even integer. Does it follow that $\chi=2\phi$ for some character $\phi$?
Dimenzia 2: Ak $\chi(1)=2$, tak vieme ľahko skontrolovať, či $\phi=\chi/2$ je charakter. Lineárne charaktery sú totiž homomorfizmy.
Takto vieme skontrolovať napríklad, že $\chi_5/2$ z Example 14.28(2) nie je charakter.
Podobne, ak si vezmeme $G=C_2$, tak regulárny charakter má hodnoty
$$
\begin{array}{|c|cc|}
\hline
g & 1 & a \\\hline
\chi & 2 & 0 \\
\phi & 1 & 0 \\\hline
\end{array}
$$
a $\phi$ nie je homomorfizmus; $0\cdot 0\ne 1$.
Regulárny charakter: (M.M.) Ak $G$ je ľubovoľná grupa s párnym počtom prvkov, tak $\chi$ spĺňa predpoklady (všetky hodnoty sú 0 alebo $|G|$, teda sú párne). Ak by $\phi=\chi/2$ bol charakter, tak by sme mali $\chi=\phi+\phi$ a teda regulárny $\mathbb{C}G$-modul by sa dal napísať ako $\mathbb{C}G=U\oplus U$ pre modul $U$ zodpovedajúci charakteru $\phi$. Teda v $\mathbb{C}G$ by sa vyskytoval každý ireducibilný charakter párny počet-krát. Vieme však, že triviálny charakter sa tam vyskytuje práve raz.
Exercise 14.8
Moderator: Martin Sleziak